Векторні твір векторів c. Векторний твір векторів онлайн

Кут між векторами

Для того, щоб ми могли ввести поняття векторного твору двох векторів, потрібно спочатку розібратися з таким поняттям, як кут між цими векторами.

Нехай нам дано два вектори $\overline(α)$ і $\overline(β)$. Візьмемо в просторі якусь точку $O$ і відкладемо від неї вектори $\overline(α)=\overline(OA)$ і $\overline(β)=\overline(OB)$, тоді кут $AOB$ буде називатися кутом між цими векторами (рис. 1).

Позначення: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Поняття векторного твору векторів та формула знаходження

Визначення 1

Векторним твором двох векторів називається вектор, перпендикулярний обом даним векторам, і його довжина дорівнюватиме добутку довжин цих векторів з синусом кута між даними векторами, а також цей вектор з двома початковими мають ту ж орієнтацію, як і декартова система координат.

Позначення: $ overline (α) x overline (β) $.

Математично це виглядає так:

1. $|\overline(α)х\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ і $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ однаково орієнтовані (рис. 2)

Очевидно, що зовнішній добуток векторів дорівнюватиме нульовому вектору у двох випадках:

1. Якщо довжина одного або обох векторів дорівнює нулю.
2. Якщо кут між цими векторами дорівнюватиме $180^\circ$ або $0^\circ$ (оскільки синус дорівнює нулю).

Щоб наочно побачити, як векторний добуток векторів, розглянемо такі приклади рішення.

Приклад 1

Знайти довжину вектора $\overline(δ)$, який буде результатом векторного твору векторів, з координатами $\overline(α)=(0,4,0)$ і $\overline(β)=(3,0,0 ) $.

Рішення.

Зобразимо ці вектори в координатному координатному просторі (рис. 3):

Малюнок 3. Вектори в координатному декартовому просторі. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Бачимо, що ці вектори лежать на осях $Ox$ та $Oy$ відповідно. Отже, кут між ними дорівнюватиме $90^\circ$. Знайдемо довжини цих векторів:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Тоді, за визначенням 1, отримаємо модуль $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Відповідь: $12$.

Обчислення векторного твору за координатами векторів

З визначення 1 відразу ж випливає спосіб знаходження векторного твору для двох векторів. Оскільки вектор, крім значення, має ще й напрямок, знаходити його тільки за допомогою скалярної величини неможливо. Але, крім нього, існує ще спосіб знаходження за допомогою координат даних нам векторів.

Нехай нам дані вектори $\overline(α)$ і $\overline(β)$, які матимуть координати $(α_1,α_2,α_3)$ і $(β_1,β_2,β_3)$, відповідно. Тоді вектор векторного твору (а саме його координати) можна знайти за такою формулою:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Інакше, розкриваючи визначник, отримаємо такі координати

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Приклад 2

Знайти вектор векторного твору колінеарних векторів $ \ overline (α) $ і $ \ overline (β) $ з координатами $ (0,3,3) $ і $ (-1,2,6) $.

Рішення.

Скористаємося формулою, наведеною вище. Отримаємо

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) ) = (12,-3,3) $

Відповідь: $ (12,-3,3) $.

Властивості векторного твору векторів

Для довільних змішаних трьох векторів $\overline(α)$, $\overline(β)$ і $\overline(γ)$, а також $r∈R$ справедливі такі властивості:

Приклад 3

Знайдіть площу паралелограма, вершини якого мають координати $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ і $(3,8,0)$.

Рішення.

Спочатку зобразимо цей паралелограм у координатному просторі (рис.5):

Малюнок 5. Паралелограм у координатному просторі. Автор24 - інтернет-біржа студентських робіт

Бачимо, що дві сторони цього паралелограма побудовані за допомогою колінеарних векторів з координатами $ overline (α) = (3,0,0) $ і $ overline (β) = (0,8,0) $. Використовуючи четверту властивість, отримаємо:

$S=|\overline(α)х\overline(β)|$

Знайдемо вектор $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Отже

$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

English: Wikipedia is making the site more secure. Ви використовуєте old web browser, який не може бути підключений до Wikipedia в майбутньому. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器、这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备または联络您的IT管理员。 ）.

Español: Wikipedia має в своєму розпорядженні el sitio mas seguro. Ви використовуєте свій navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacto a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en anglès.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipedia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, ніби не pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: 위키피디아는 사이트의 보안을 강화하고 있습니다.브라우저가 오래된 버전이므로 향후 위키피디아에 연결하지 못할 수 있습니다.장치를 업데이트하거나 IT 관리자에게 문의하십시오.기술에 대한 자세한 업데이트 정보는 아래에 영어로 제공됩니다.

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft нігт мейр на Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerat oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Для favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipedia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Hazznalj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alab olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia і framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Використовується для підтримки програмного забезпечення для TLS protocols versions, особливо TLSv1.0 і TLSv1.1, які ваш браузер software relies on connect to our sites. Це зазвичай пов'язано з зареєстрованими браузерами, або за допомогою Android smartphones. Або це може бути interference від корпоративного або індивідуального "Web Security" software, який в даний час підвищує зв'язок безпеки.

Ви повинні upgrade вашого веб-браузера або іншогоwise fix це issue to access our sites. Цей message буде remain until Jan 1, 2020. Після того, як ваш браузер не може бути встановлений для підключення до наших серверів.

Визначення. Векторним добутком вектора а на вектор b називається вектор, що позначається символом [«, Ь] (або л х Ь), такий, що 1) довжина вектора [а, b] дорівнює (р, де у - кут між векторами а і b ( 2) вектор [а, Ь) перпендикулярний векторам а і Ь, тобто. перпендикулярний площині цих векторів; 3) вектор [а, Ь] спрямований так, що з кінця цього вектора найкоротший поворот від а до b видно тим, що відбувається проти годинникової стрілки (рис. 32). Мал. 32 Рис.31 Інакше кажучи, вектори a, b і [а,Ь) утворюють праву трійку векторів, тобто. розташовані так, як великий, вказівний та середній пальці правої руки. У випадку, якщо вектори а і b колінеарні, вважатимемо, що [а, Ь] = 0. За визначенням довжина векторного твору чисельно дорівнює площі Sa паралелограма (рис. 33), побудованого на векторах, що перемножуються, а і b як на сторонах: 6.1 . Властивості векторного твору 1. Векторний добуток дорівнює нульовому вектору тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів, що перемножуються, є нульовим або коли ці вектори колінеарні (якщо вектори а і b колінеарні, то кут між ними дорівнює або 0, або 7г). Це легко отримати з того, що Якщо вважати нульовим вектором колінсарним будь-якому вектору, то умова колінеарності векторів а і b можна виразити так 2. Векторний твір антикоммутативно, тобто завжди. Справді, вектори (а, Ь) мають однакову довжину і коллінеарні. Напрямки цих векторів протилежні, оскільки з кінця вектора [а, Ь] найкоротший поворот від а до b буде видно тим, що відбувається проти годинникової стрілки, а з кінця вектора [Ь, а] - за годинниковою стрілкою (рис. 34). 3. Векторний добуток має розподільну властивість по відношенню до додавання 4. Числовий множник Л можна виносити за знак векторного добутку 6.2. Векторний добуток векторів, заданих координатами Нехай вектори а та Ь задані своїми координатами в базисі. Користуючись розподільною властивістю векторного твору, знаходимо векторний добуток заданих координатами. Змішаний твір. Випишемо векторні твори координатних ортів (рис. 35): Тому для векторного твору векторів а і b отримуємо з формули (3) наступний вираз Формулу (4) можна записати в символічній формі, що легко запам'ятовується, якщо скористатися визначником 3-го порядку: Розкладаючи цей визначник за елементами 1-го рядка, отримаємо (4). приклади. 1. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах Шукана площа Тому знаходимо = звідки 2. Знайти площу трикутника (рис. 36). Зрозуміло, що площа б"д трикутника ВАТ дорівнює половині площі S паралелограма О АС В. Обчислюючи векторний твір (а, Ь| векторів а = OA і b = оЪ, отримуємо Звідси Зауваження. Векторний твір не асоціативно, тобто рівність ( (а, Ь),с) = [а, |Ь,с)) неправильно, наприклад, при а = ss j маємо § 7. Змішаний добуток векторів Нехай маємо три вектори а, Ь і с. і 1> скторно.В результаті отримаємо вектор [а, 1>].Помножимо його скалярно на вектор з: (к Ь), с) Число ([а, Ь], е) називається змішаним твором векторів а, Ь. і позначається символом (а, 1), е) 7.1 Геометричний зміст змішаного твору Відкладемо вектори а, b і з точки О (рис. 37) Якщо всі чотири точки О, А, В, С лежать в одній площині ( вектори a, b і з називаються в цьому випадку компланарними), то змішане твір ([а, Ь], с) = 0. Це випливає з того, що вектор [а, Ь|перпендикулярний площині, в якій лежать вектори а і 1 », а значить, і вектору с./ Якщо ж т окуляри О, А, В, С не лежать в одній плоскості (вектори a, b і з некомпланарні), побудуємо на ребрах OA, OB та ОС паралелепіпед (рис. 38 а). За визначенням векторного твору маємо (a,b) = So с, де So - площа паралелограма OADB, а с - одиничний вектор, перпендикулярний векторам а і Ь і такий, що трійка а, Ь, с - права, тобто. вектори a, b і с розташовані відповідно як великий, вказівний та середній пальці правої руки (рис. 38 б). Помножуючи обидві частини останньої рівності справа скалярно на вектор, отримуємо, що векторний добуток векторів заданих координатами. Змішаний твір. Число ргс дорівнює висоті h побудованого паралелепіпеда, взятого зі знаком «+», якщо кут між векторами с і з гострий (трійка а, Ь, с - права), і зі знаком «-», якщо кут - тупий (трійка а, Ь, с - ліва), так що Тим самим змішаний добуток векторів а, Ь і з дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на цих векторах як на ребрах, якщо трійка а, Ъ, с - права, і -V, якщо трійка а , Ь, з - ліва. Виходячи з геометричного сенсу змішаного твору, можна зробити висновок, що, перемножуючи тс ж вектори a, b і з будь-якому іншому порядку, ми завжди будемо отримувати або +7, або -К. Знак произ- Рис. 38 ведення залежатиме лише від того, яку трійку утворюють вектори, що перемножуються, - праву або ліву. Якщо вектори а, Ь, утворюють праву трійку, то правими будуть також трійки Ь, с, а і с, а, Ь. У той самий час всі три трійки Ь, а, з; а, с, Ь і с, Ь, а – ліві. Тим самим, (а,Ь, с) = (Ь,с, а) = (с,а,Ь) = -(Ь,а,с) = -(а,с,Ь) = -(с,Ь а). Ще раз підкреслимо, що змішаний добуток векторів дорівнює нулютоді тільки тоді, коли перемножуються вектори а, Ь, з компланарні: (а, Ь, з компланарні) 7.2. Змішаний добуток у координатах Нехай вектори а, Ь, з заданими своїми координатами в базисі i, j, k: а = (x, y, z]), b = (x2, y2> z2), c = (х3, уз,23). Знайдемо вираз для їхнього змішаного твору (а, Ь, с). Маємо змішаний добуток векторів, заданих своїми координатами в базисі i, J, до, дорівнює визначнику третього порядку, рядки якого складені відповідно з координат першого, другого та третього з векторів, що перемножуються. Необхідна і достатня умова компланарності векторів а у \, Z |), b = (х У2. 22), з = (жз, уз, 23) запишеться в наступному вигляді У | z, аг2 у2 -2 = 0. Приклад. Перевірити, чи є компланарними вектори „ = (7,4,6), Ь = (2, 1,1), с = (19, II, 17). Вектори, що розглядаються, будуть компланарні або некомпланарні в залежності від того, дорівнюватиме нулю чи ні визначник Розкладаючи його за елементами першого рядка, отримаємо Д = 7- 6- 4- 15 + 6-3 = 0^- вектори n, Ь, з компланарними. 7.3. Подвійний векторний подвійний подвійний вектор [а, [Ь, с]] являє собою вектор, перпендикулярний до векторів а і [Ь, с]. Тому він лежить у площині векторів b і с і може бути розкладений цим векторам. Можна показати, що справедлива формула [а, [!>, с]] = Ь(а, е) - с(а, Ь). Вправи 1. Три вектори АВ = с, Ж? = про СА = b служать сторонами трикутника. Виразити через a, b і вектори, що збігаються з медіанами AM, DN, CP трикутника. 2. Якою умовою мають бути пов'язані вектори р і q, щоб вектор р + q ділив кут між ними навпіл? Передбачається, що всі три вектори віднесені до загального початку. 3. Обчисліть довжину діагоналей паралелограма, побудованого на векторах а = 5р + 2q та b = р - 3q, якщо відомо, що | р | = 2v/2, | q | = 3 H-(p7ci) = f. 4. Позначивши через а та b сторони ромба, що виходять із загальної вершини, доведіть, що діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. 5. Обчисліть скалярний добуток векторів а = 4i + 7j + 3k та b = 31 - 5j + k. 6. Знайдіть одиничний вектор а0, паралельний вектору а = (6, 7, -6). 7. Знайдіть проекцію вектора a = l + j-kHa вектор b = 21 - j - 3k. 8. Знайдіть косинус кута між векторами IS «ж, якщо А(-4,0,4), В(-1,6,7), С(1,10.9). 9. Знайдіть одиничний вектор р°, одночасно перпендикулярний вектору а = (3, 6, 8) та осі Ох. 10. Обчисліть синус кута між діагоналями паралелофама, побудованого на векторах a = 2i+J-k, b=i-3j + k як на сторонах. Обчисліть висоту h паралелепіпеда, побудованого на векторах а = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, якщо за основу взято паралелограм, побудований на векторах а та I). Відповіді

Даний онлайн калькулятор обчислює векторний добуток векторів. Надається докладне рішення. Для обчислення векторного добутку векторів введіть координати векторів у комірки та натискайте на кнопку "Обчислити."

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Векторний твір векторів

Перш ніж перейти до визначення векторного твору векторів, розглянемо поняття впорядкована трійка векторів, ліва трійка векторів, права трійка векторів.

Визначення 1. Три вектори називаються упорядкованої трійкою(або трійкою ), якщо зазначено, який із цих векторів перший, який другий та який третій.

Запис cba- означає - першим є вектор c, другим є вектор bі третім є вектор a.

Визначення 2. Трійка некомпланарних векторів abcназивається правою (лівою), якщо при приведенні до загального початку ці вектори розташовуються так, як розташовані відповідно великий, незігнутий вказівний і середній пальці правої (лівої) руки.

Визначення 2 можна формулювати і інакше.

Визначення 2". Трійка некомпланарних векторів abcназивається правою (лівою), якщо при приведенні до загального початку, вектор cрозташовується по той бік від площини, що визначається векторами aі b, звідки найкоротший поворот від aдо bвідбувається проти годинникової стрілки (за годинниковою стрілкою).

Трійка векторів abc, зображена на рис. 1 є правою, а трійка abcзображена на рис. 2 є лівою.

Якщо дві трійки векторів є правими чи лівими, кажуть, що вони однієї орієнтації. Інакше кажуть, що вони є протилежною орієнтацією.

Визначення 3. Декартова або афінна система координат називається правою (лівою), якщо три базисні вектори утворюють праву (ліву) трійку.

Для певності, надалі ми розглядатимемо лише праві системи координат.

Визначення 4. Векторним творомвектора aна вектор bназивається вектор з, що позначається символом c=[ab] (або c=[a,b], або c=a×b) і задовольняє наступним трьом вимогам:

• довжина вектора здорівнює добутку довжин векторів aі bна синус кута φ між ними:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• вектор зортогональний до кожного з векторів aі b;
• вектор cспрямований так, що трійка abcє правою.

Векторний добуток векторів має такі властивості:

• [ab]=−[ba] (антиперестановністьспівмножників);
• [(λa)b]=λ [ab] (сполучністьщодо числового множника);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (розподільністьщодо суми векторів);
• [aa]=0 для будь-якого вектора a.

Геометричні властивості векторного твору.

Теорема 1. Для колінеарності двох векторів необхідна і досить рівність нуля їхнього векторного твору.

Доведення. Необхідність. Нехай вектори aі bколінеарні. Тоді кут між ними 0 або 180° sinφ=sin180=sin 0 = 0. Отже, враховуючи вираз (1), довжина вектора cдорівнює нулю. Тоді cнульовий вектор.

Достатність. Нехай векторний добуток векторів aі bнавно нулю: [ ab]=0. Доведемо, що вектори aі bколінеарні. Якщо хоча б один із векторів aі bнульовий, то ці вектори колінеарні (бо нульовий вектор має невизначений напрямок і його можна вважати колінеарним будь-якому вектору).

Якщо ж обидва вектори aі bненульові, то | a|>0, |b|>0. Тоді з [ ab]=0 і з (1) випливає, що sinφ=0. Отже вектори aі bколінеарні.

Теорему доведено.

Теорема 2. Довжина (модуль) векторного твору ab] дорівнює площі Sпаралелограма, побудованого на наведених до загального початку векторах aі b.

Доведення. Як відомо, площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін цього паралелограма на синус кута між ними. Отже:

Тоді векторний добуток цих векторів має вигляд:

Розкриваючи визначник за елементами першого рядка, ми отримаємо розкладання вектора. a×bпо базису i, j, k, Яке еквівалентно формулі (3).

Доказ теореми 3. Складемо всі можливі пари з базисних векторів i, j, kі порахуємо їхній векторний твір. Потрібно враховувати, що базисні вектори взаємно ортогональні, утворюють праву трійку і мають одиничну довжину (іншими словами можна припускати, що i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k= (0, 0, 1)). Тоді маємо:

З останньої рівності та співвідношень (4), отримаємо:

Складемо 3×3 матрицю, перший рядок якої базисні вектори i, j, k,а інші рядки заповнені елементами векторів aі b.

Очевидно, що у випадку векторного твору має значення порядок, в якому беруться вектори, більш того,

Також, безпосередньо з визначення слід, що з будь-якого скалярного множника k (числа) вірно таке:

Вектор твір колінеарних векторів дорівнює нульовому вектору. Більше того, векторний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли вони колінеарні. (У випадку, якщо один з них нульовий вектор необхідно згадати, що нульовий вектор колінеарен будь-якому вектору за визначенням).

Векторний твір має розподільною властивістю, тобто

Вираз векторного твору через координати векторів.

Нехай дані два вектори

(як знайти координати вектора за координатами його початку та кінця - див. статтю Скалярний добуток векторів, пункт Альтернативне визначення скалярного добутку, або обчислення скалярного добутку двох векторів, заданих своїми координатами.)

Навіщо потрібен векторний твір?

Існує безліч способів застосування векторного твору, наприклад, як уже написано вище, обчисливши векторний твір двох векторів можна з'ясувати, чи вони колінеарні.

Або його можна використовувати як спосіб обчислення площі паралелограма, побудованого на цих векторах. Виходячи з визначення, довжина результуючого вектора є площа даного паралелограма.

Також величезна кількість застосувань існує в електриці та магнетизмі.

Он-лайн калькулятор вектор твору.

Щоб знайти скалярний добуток двох векторів за допомогою даного калькулятора, потрібно ввести в перший рядок по порядку координати першого вектора, у другий-другий. Координати векторів можуть бути обчислені за координатами їх початку та кінця (див. статтю Скалярний добуток векторів, пункт Альтернативне визначення скалярного добутку, або обчислення двох векторів, заданих своїми координатами.)