Генератор кубиків - гральні кістки онлайн. Гральні кістки і незалежність

Метод музичної композиції з незакріпленим звуковим текстом; як самостійний спосіб написання музики оформився в XX в. А. означає повну або часткову відмову композитора від жорсткого контролю над музичним текстом або навіть усунення самої категорії композитора-учасника в традиційному сенсі. Новаторство А. полягає в співвіднесенні стабільно встановлених компонентів музичного тексту з свідомо вводиться випадковістю, довільної мобільністю музичної матерії. Поняття А. може ставитися і до загальної компонуванні частин твори (до форми), і до будови його тканини. За Е. Денисову,взаємодія між стабільністю і мобільністю тканини і форми дає 4 основних типи поєднання, три з яких - 2-й, 3-й і 4-й - є алеаториченої: 1. Стабільна тканину - стабільна форма (звичайна традиційна композиція, opus perfectum et absolutum; як, наприклад, 6 симфонічного. Чайковського); 2. Стабільна тканину - мобільна форма; по В. Лютославс-кому, «А. форми »(П. Булез, 3-тя соната для ф-п, 1957); 3. мобільних тканина- стабільна форма; або, по Лютославського, «А. фактури »(Лютославський, Струнний квартет, 1964, Main Movement); 4. мобільних тканину - мобільна форма; або «А. Кейджа »(При колективної імпровізації декількох виконавців). Це вузлові точки методу А., навколо яких розташовуються багато різних конкретних видів і випадків структур, різні ступені занурення в А .; крім того, природні і метаболи ( «модуляції») - перехід від одного виду або типу до іншого, також до стабільного тексту або від нього.

А. набула поширення з 1950-х рр., З'явившись (разом з сонорику),зокрема, реакцією на крайнє закріпачення музичної структури в многопараметровой се-ріалізме (див .: Додекафонія).Тим часом, принцип свободи структури в тому чи іншому відношенні має давнє коріння. По суті, звуковим потоком, а не однозначно структурованим опусом, є народна музика. Звідси нестабільність, «неопусность» народної музики, варіаційної-ність, варіантність і імпровізаційність в ній. Незаданность, імпровізіруемий форми характерні для традиційної музики Індії, народів Далекого Сходу, Африки. Тому представники А. активно і усвідомлено спираються на сутнісні принципи східної і народної музики. Елементи А. існували і в європейській класичної музики. Наприклад, у віденських класиків, усунули принцип генералбаса і зробили музичний текст повністю стабільним (симфонії і квартети І.Гайдна), різким контрастом стала «каденція» в формі інструментального концерта- віртуозное.соло, партію якого композитор не складав, а надавав на розсуд виконавця (елемент А. форми). Відомі жартівливі «алеаториченої» методи складання нескладних п'єс (менуетів) шляхом поєднання шматочків музики на гральних кубиках (Würfelspiel) за часів Гайдна і Моцарта (трактат І.Ф.Кірнбергера «У будь-який час готовий композитор полонезів та менуетів». Берлін, 1757).

У XX ст. принцип «індивідуального проекту» в формі став наводити на думку про допустимість текстових варіантів твори (т. е. А.). У 1907р. американський композитор Ч.Айвз склав фортепіанний квінтет «Hallwe" en (\u003d «Переддень Дня всіх святих»), текст якого при виконанні в концерті повинен гратися по-різному чотири рази поспіль. Д. Кейджсклав в 1951 р. «Музику змін» для ф-но, текст якої він склав «маніпулюванням випадковостями» (слова композитора), використавши для цього китайську «Книгу змін». класси-

ний приклад А. - «фортепіанна п'єса XI» К. Штокхаузена,1957. На аркуші паперу ок. 0,5 кв.м у випадковому порядку розташовані 19 музичних фрагментів. Піаніст починає з будь-якого з них і грає їх в довільній послідовності, дотримуючись випадково впав погляду; в кінці попереднього уривка написано, в якому темпі і в який гучності грати наступний. Коли піаністу здасться, що він зіграв так вже все фрагменти, їх слід зіграти вдруге знову в настільки ж випадковому порядку, але в більш яскравою звучності. Після другого кола п'єса закінчується. Для більшого ефекту алеаториченої твір рекомендується в одному концерті ще й повторити - слухачеві постане інша композиція з того ж матеріалу. Метод А. широко використовується сучасними композиторами (Булезом, Штокхаузеном,Лютославського, О.Волконському, Денисовим, Шніткета ін.).

Передумовою А. в XX в. з'явилися нові закони гармоніїі що випливають з них тенденції до пошуків нових форм, відповідних нового стану музичного матеріалу і характерних для авангарду.Алеаториченої фактура була абсолютно немислима до емансипації дисонансу,розробки атональної музики (див .: Додекафонія).Прихильник «обмеженою і контрольованою» А. Лютославський вбачає в ній безперечну цінність: «А. відкрила переді мною нові і несподівані перспективи. Перш за все - величезне багатство ритміки, недосяжне за допомогою інших технік ». Денисов, обґрунтовуючи «введення елементів випадкового в музику», стверджує, що воно «дає нам велику свободу в оперуванні музичної матерією і дозволяє нам отримувати нові звукові ефекти<...>, Але ідеї мобільності можуть дати хороші результати лише в тому випадку<... >, Якщо приховані в мобільності деструктивні тенденції не руйнують конструктивність, необхідну для існування будь-якої форми мистецтва ».

З А. перетинаються деякі інші методи і форми музики. Перш за все це: 1. імпровізація -виконання твору, складати в процесі гри; 2. графічна музика, яку імпровізує виконавець по зорових образів поставленого перед ним малюнка (наприклад, І.Браун, Folio », 1952), переводячи їх в звукові образи, або по музично-алеаториченої графіку, створеної композитором зі шматків нотного тексту на аркуші паперу (С.Буссотті, «Пристрасті по Саду», 1966); 3. хепенінг- імпровізіруемий (в цьому сенсі алеаториченої) дію (Акція)за участю музики з довільним (квазі-) сюжетом (наприклад, хепенінг О. Волконського «Репліка» ансамблю «Мадригал» в сезоні 1970/71 р); 4. відкриті форми музики - то є такі, текст яких стабільно не фіксований, а щоразу виходить в процесі виконання. Це - види композиції, принципово не замкнуті і допускають нескінченне продовження (наприклад, з кожним новим виконанням), англ. Work in progress. Для П.Булеза одним із стимулів, що звернули його до відкритої формі, була творчість Дж. Джойса( «Улісс») і С. Малларме ( «Le Livre»). Приклад відкритої композиції - «Досяжні форми II» ( «Available Forms II», за змістом - «Потенційні форми») Ірла Брауна для 98 інструментів і двох диригентів (1962). Браун сам вказує на зв'язок своєї відкритої форми з «мобілями» в візуальних мистецтвах (див .: Кінетичне мистецтво),зокрема у А. Колдера ( «Calder Piece» для 4 ударників і мо-биля Колдера, 1965). Нарешті, алеаториченої принципами пронизана «Gesamtkunst» -акція (див .: Гезамткунстверк).5. Мультимедіа, специфікою яких є синхронізація інсталяційдекількох мистецтв (наприклад: концерт + виставка живопису і скульптури + вечір поезії в будь-яких поєднаннях видів мистецтв і т. п.). Таким чином суть А. складається в примиренні традиційно сформованого художнього порядку і освіжаючого ферменту непередбачуваності, випадковості - тенденція, характерна для художньої культури XX ст.в цілому і некласичної естетики.

Літ .: Денисов Е.В.Стабільні і мобільні елементи музичної форми і їх взаємодія // Теоретичні проблеми музичних форм і жанрів. М., 1971; Когоутека Ц.Техніка композиції в музиці XX століття. М., 1976; Лютославський В.Статті, бе-

сиві, спогади. М., 1995; BoulezP. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R.Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960; Schäffer B.Nowa muzyka (1958). Krakow, 1969; Schäffer B.Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krakow, 1975; Stockhausen K.Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

Найпоширеніший вид має форму куба, на кожній зі сторін якого зображені числа від одного до шести. Гравець, кинувши його на плоску поверхню, бачить результат на верхній межі. Кістки - справжній рупор випадку, удачі або невдачі.

Випадковість.
Кубики (кістки) існували давно, але став традиційним вид з шістьма сторонами придбали приблизно за 2600 років до н. е. Стародавні греки любили грати в кості, і в їх легендах герой Паламед, несправедливо звинувачений Одиссеем в зраді, згадується як їх винахідник. За легендою, він придумав цю гру, щоб розважити солдат, облягали Трою, захоплену завдяки величезному дерев'яному коню. Римляни за часів Юлія Цезаря також розважалися різноманітними варіантами гри в кості. За латині кубик називався datum, що означає «даність».

Заборони.
В середні віки, приблизно до XII століття, гра в кості набуває більшої популярності в Європі: кубики, які можна брати з собою всюди, подобаються як воїнам, так і селянам. Кажуть, що існувало понад шестисот різних ігор! Виробництво гральних кісток стає окремою професією. Король Людовик IX (1214-1270), який повернувся з хрестового походу, не схвалював азартні ігри і розпорядився заборонити виробництво гральних кісток у всьому королівстві. Більше ніж самою грою влади були незадоволені пов'язаними з нею заворушеннями - грали тоді в основному в тавернах і партії часто закінчувалися бійками і різаниною. Але ніякі заборони не перешкодили гральних кісток пережити час і дожити до наших днів.

Кістки з «зарядом»!
Результат кидка кубика завжди визначений випадковістю, але деякі шулери намагаються змінити це. Просвердливши в кубику отвір і затоку в нього свинцю або ртуті, можна домогтися, щоб кидок кожен раз давав один і той же результат. Такий кубик називається «зарядженим». Виготовлені з різних матеріалів, будь то золото, камінь, кришталь, кістка, гральні кістки можуть мати різні форми. Маленькі гральні кістки в формі піраміди (тетраедра) були знайдені в гробницях єгипетських фараонів, які будували великі піраміди! В різні часи виготовлялися кістки з 8, 10, 12, 20 і навіть 100 сторонами. Зазвичай на них наносяться цифри, але на їх місці також можуть виявитися і букви або зображення, даючи простір для фантазії.

Як кидати кістки.
У кісток бувають не тільки різні форми, але і різні способи гри. Правила деяких ігор вимагають здійснювати кидок певним способом, як правило, щоб уникнути розрахованого кидка або щоб кубик не зупинився в похилому положенні. Іноді до них додається спеціальний стакан, щоб уникнути обману або падіння за межі ігрового столу. В англійській грі крепі все три кістки повинні обов'язково вдаритися об ігровий стіл або стінку, щоб не дозволити брехунів зобразити кидок, просто зрушивши кубик, але не повернувши його.

Випадковість і ймовірність.
Кубик завжди дає випадковий результат, який неможливо передбачити. З одним кубиком у гравця стільки ж шансів викинути 1, скільки і 6 - все визначає випадковість. З двома кубиками, навпаки, рівень випадковості зменшується, так як у гравця більше інформації про результат: наприклад, з двома кубиками число 7 можна отримати декількома способами - викинувши 1 і 6, 5 і 2 або 4 і 3 ... Але можливість отримати число 2 тільки одна: викинувши два рази 1. Таким чином, ймовірність отримати 7 вище, ніж отримати 2! Це називається теорія ймовірностей. З цим принципом пов'язані багато ігор, особливо гри на гроші.

Про застосування гральних кісток.
Кістки можуть являти собою самостійну гру, без інших елементів. Єдино чого практично не існує, так це ігор для одного єдиного кубика. Правила вимагають як мінімум двох (наприклад, крепі). Щоб грати в покер на кістках необхідно мати п'ять кубиків, ручку і папір. Мета -заполніть комбінації, схожі з комбінаціями однойменної карткової гри, записуючи очки за них в спеціальну таблицю. Крім того, кубик - дуже затребувана деталь для настільних ігор, що дозволяє пересувати фішки або вирішувати результат ігрових баталій.

Жереб кинутий.
У 49 році до н. е. молодий Юлій Цезар завоював Галію і повернувся в Помпею. Але його влада викликала побоювання у сенаторів, які вирішили розпустити його армію до його повернення. майбутній імператор, Прибувши до кордонів республіки, вирішує порушити наказ, перейшовши її з військом. Перш ніж перетнути Рубікон (річку, що була кордоном), він вимовив перед своїми легіонерами «Аlеа jacta est» ( «жереб кинуто»). Цей вислів стало крилатою фразою, сенс якої в тому, що, як і в грі, після деяких прийнятих рішень вже неможливо дати задній хід.

Гральні кістки використовуються людиною тисячі років.

У 21 столітті нові технології дозволяють кинути кубик в будь-який зручний час, а при наявності доступу в Інтернет в зручному місці. Гральний кубик завжди з вами будинку або в дорозі.

Генератор гральних кісток дозволяє кинути онлайн від 1-го до 4-х кубиків.

Кинути кубик онлайн по-чесному

При використанні реальних кісток може використовуватися спритність рук або спеціально зроблені кубики з перевагою на одну зі сторін. Наприклад, можна розкрутити кубик уздовж однієї з осей, і тоді змінитися розподіл ймовірностей. Особливістю наших віртуальних кубиків є застосування програмного генератора псевдо випадкових чисел. Це дозволяє забезпечити, дійсно, випадковий варіант випадання того чи цього результату.

А якщо ви додасте цю сторінку в закладки, то ваші онлайн гральні кубики нікуди не загубляться і будуть в потрібний момент завжди під рукою!

Деякі люди пристосувалися застосовувати гральні кістки онлайн для ворожіння або складання прогнозів і гороскопів.

Веселого настрою, гарного дня і удачі!

Написану дизайнером Тайлером Сігманом, на "Gamasutra". Я ніжно називаю її статтею про "волоссі в ніздрях орка", але в ній досить добре викладені основи ймовірностей в іграх.

Тема цього тижня

До сьогоднішнього дня майже все, про що ми говорили, було детермінованим і минулого тижня ми уважно вивчили транзитивною механіку і розібрали її настільки детально, наскільки детально я можу її пояснити. Але до сих пір ми не звертали увагу на величезний аспект багатьох ігор, а саме на недетерміновані аспекти, іншими словами - випадковість. Розуміння природи випадковості дуже важливо для гейм-дизайнерів, тому що ми створюємо системи, які впливають на досвід гравця в тій чи іншій грі, таким чином, нам потрібно знати, як ці системи працюють. Якщо в системі є випадковість, потрібно розуміти природуцієї випадковості і як її змінити, щоб отримати потрібні нам результати.

Гральні кубики

Давайте почнемо з чогось простого: кидання гральних кісток. Коли більшість людей думає про гральні кістках, вони уявляють собі шестигранний кубик, відомий як d6. Але більшість геймерів бачили безліч інших гральних кісток: чотиригранні (d4), восьмигранні (d8), дванадцятигранні (d12), двадцятигранні (d20) ... і якщо ви справжнійгик, у вас, може бути, десь знайдуться 30-гранні або 100-гранні кістки. Якщо ви не знайомі з цією термінологією, "d" означає гральну кістку, а число, що стоїть після неї, скільки у неї граней. якщо перед"D" стоїть число, то воно означає кількість гральних кісток при киданні. Наприклад, в грі "Монополія" ви кидаєте 2d6.

Отже, в даному випадку словосполучення "гральна кістка" - умовне позначення. Існує величезна кількість інших генераторів випадкових чисел, які не мають форму пластикової брили, але виконують ту ж функцію генерації випадкового числа від 1 до n. Звичайну монету можна також уявити собі у вигляді двогранного гральної кістки d2. Я бачив два дизайну семигранну кістки: одна з них виглядала як гральний кубик, А друга була більше схожа на семигранну дерев'яний олівець. Чотиригранний дрейдл (також відомий як тітотум) є аналогом чотиригранної кістки. Ігрове поле з крутиться стрілкою в грі "Chutes & Ladders", де результат може бути від 1 до 6, відповідає шестигранною кістки. Генератор випадкових чисел в комп'ютері може створити будь-яке число від 1 до 19, якщо дизайнер задасть таку команду, хоча в комп'ютері немає 19-гранной гральної кістки (взагалі про ймовірність випадання чисел на комп'ютері я буду говорити докладніше на наступноготижні). Хоча всі ці предмети виглядають по-різному, насправді вони рівнозначні: у вас є рівні шанси випадання одного з декількох результатів.

У гральних кісток є деякі цікаві властивості, про які нам потрібно знати. По-перше, ймовірність випадання будь-якої з граней однакова (я припускаю, що ви кидаєте правильну гральну кістку, а не з неправильною геометричною формою). Таким чином, якщо ви хочете знати середнє значення кидка (також відоме серед захоплюються темою ймовірності як "математичне очікуване"), для конкретного випадку значення всіх граней і цю суму розділіть на кількістьграней. Середнє значення кидка для стандартного шестигранного кубика дорівнює 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \u003d 21, ділимо на кількість граней (6) і отримуємо середнє значення 21/6 \u003d 3,5. Це особливий випадок, тому що ми припускаємо, що всі результати різновірогідні.

Що якщо у вас особливі гральні кістки? Наприклад, я бачив гру з шестигранною гральною кісткою зі спеціальними наклейками на гранях: 1, 1, 1, 2, 2, 3, тому вона поводиться як дивна тригранна гральна кістка, з якої більше шансів, що випаде число 1 ніж 2, і 2 ніж 3. Яке середнє значення кидка для цієї кістки? Отже, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 \u003d 10, ділимо на 6, так само 5/3 або приблизно 1,66. Таким чином, якщо у вас така особлива гральна кістка і гравці будуть кидати три кістки, а потім підсумувати результати, ви знаєте, що приблизна сума їх кидка буде дорівнює приблизно 5, і ви можете балансувати гру грунтуючись на цьому припущенні.

Гральні кістки і незалежність

Як я вже говорив, ми виходимо з припущення, що випадання кожної грані равновероятно. Це не залежить від того, скільки гральних кісток ви кидаєте. Кожне кидання гральної кістки незалежно, Це означає, що попередні кидки не впливають на результати наступних. При достатній кількості випробувань ви обов'язково помітите "Серію" чисел, як, наприклад, випадання в основному більших або менших значень, або інші особливості, і пізніше ми поговоримо про це, але це не означає, що гральні кістки "гарячі" або "холодні". Якщо ви кидаєте стандартний шестигранний кубик і два рази поспіль випадає число 6, ймовірність того, що результатом наступного кидка буде 6, точно також дорівнює 1/6. Імовірність не підвищується від того, що кубик "нагрівся". Вірогідність не знижується, тому що вже два рази поспіль випадало число 6, а значить тепер випаде інша грань. (Звичайно, якщо ви кидаєте кубик двадцять разів і кожного разу випадає число 6, шанс того, що в двадцять перший раз випаде число 6 досить високий ... тому що, можливо, це означає, що у вас неправильні кубик!) Але якщо у вас правильний кубик, ймовірність випадання кожної з граней однакова, незалежно від результатів інших кидків. Ви можете також уявити собі, що кожен раз ми замінюємо гральну кістку, так, якщо випало два рази поспіль число 6, приберіть "гарячу" гральну кістку з гри і замініть її на нову шестигранную кістка. Я прошу вибачення, якщо хтось із вас уже знав про це, але мені необхідно було це прояснити, перш ніж рухатися далі.

Як зробити випадання гральних кісток більш-менш випадковим

Давайте поговоримо про те, як отримати різні результати на різних гральних кістках. Якщо ви кидаєте гральну кістку тільки один раз або кілька разів, гра буде здаватися більш випадковою, в тому випадку якщо у гральної кістки буде більше граней. Чим більше разів ви кидаєте гральну кістку або чим більше гральних кісток ви кидаєте, тим більше результати наближаються до середнього значення. Наприклад, якщо ви кидаєте 1d6 + 4 (тобто стандартну шестигранную гральну кістку один раз і додаєте до результату 4), середнім значенням буде число від 5 до 10. Якщо ви кидаєте 5d2, середнім значенням також буде число від 5 до 10. але при киданні шестигранною гральної кістки, ймовірність випадання чисел 5, 8 або 10 однакова. Результатом кидання 5к2 будуть в основному числа 7 і 8, рідше інші значення. Та ж серія, навіть той же середнє значення (7,5 в обох випадках), але природа випадковості різна.

Зачекайте хвилинку. Хіба я тільки що не говорив, що гральні кістки не нагріваються і не охолоджуються? А тепер я кажу, що якщо ви кидаєте багато гральних кісток, результати кидків наближаються до середнього значення? Чому?

Дозвольте мені пояснити. Якщо ви кидаєте однугральну кістку, ймовірність випадання кожної з граней однакова. Це означає, що якщо ви кидаєте багато гральних кісток, протягом деякого часу кожна грань буде випадати приблизно однакову кількість разів. Чим більше кісток ви кидаєте, тим більше в сукупності результат буде наближатися до середнього значення. Це не тому що випало число "змушує" випасти інше число, яке ще не випадало. А тому що невелика серія випадання числа 6 (або 20, або іншого числа) в результаті не буде мати великого значення, якщо ви кинете гральні кістки ще десять тисяч разів і в основному буде випадати середнє значення ... можливо, зараз у вас випаде кілька чисел з високим значенням, але, може бути, пізніше кілька чисел з низьким значенням і з часом вони наблизяться до середнього значення. Чи не тому що попередні кидки впливають на гральні кістки (серйозно, гральна кістка зроблена з пластика, У неї немає мізків, щоб подумати: «ой, давно не випадало 2»), а тому що це те, що зазвичай відбувається при великій кількості кидків гральних кісток. Невелика серія повторюваних чисел буде практично непомітна в великій кількості результатів.

Таким чином, провести розрахунки для одного випадкового кидка гральної кістки досить нескладно, по крайней мере, що стосується обчислення середнього значення кидка. Є також способи обчислити "наскільки випадково" що-небудь, спосіб сказати, що результати кидання 1d6 + 4 будуть "більш випадковими" чим 5d2, для 5d2 розподіл випадання результатів буде більш рівномірним, зазвичай для цього ви обчислюєте середньоквадратичне відхилення, і чим більше буде значення, тим більш випадковими будуть результати, але для цього потрібно зробити більше обчислень, ніж мені б хотілося наводити сьогодні (цю тім'я я поясню пізніше). Єдине, що я прошу вас знати: як правило, чим менше гральних кісток кидається, тим більше випадковість. І ще одне доповнення по цій темі: чим більше граней у гральної кістки, тим більше випадковість, так як у вас більше варіантів.

Як обчислити вірогідність за допомогою підрахунку

У вас, можливо, виникло питання: як ми можемо обчислити точну вірогідність випадання певного результату? Насправді це досить важливо для багатьох ігор, тому що, якщо ви кидаєте гральну кістку, спочатку, швидше за все, є якийсь оптимальний результат. Відповідь така: нам потрібно порахувати два значення. По-перше, порахуйте максимальне число випадків при киданні гральної кістки (незалежно від того, якою буде результат). Потім порахуйте число сприятливих результатів. Розділивши друге значення на перше, ви отримаєте потрібну ймовірність. Щоб отримати процентне відношення, помножте отриманий результат на 100.

приклади:

Ось дуже простий приклад. Ви хочете, щоб випало число 4 або вище і кидаєте один раз шестигранную гральну кістку. Максимальне число випадків становить 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). З них 3 результату (4, 5, 6) є сприятливими. Значить, щоб порахувати вірогідність, ділимо 3 на 6 і отримуємо 0,5 або 50%.

Ось приклад трохи складніше. Ви хочете, щоб випало парне число при киданні 2d6. Максимальне число випадків 36 (6 для кожної гральної кістки, і так як одна гральна кістка не впливає на іншу, множимо 6 результатів на 6 і отримуємо 36). Складність питання даного типу полягає в тому, що легко порахувати двічі. Наприклад, на самому ділі є два варіанти результату 3 при киданні 2к6: 1 + 2 і 2 + 1. Вони виглядають однаково, але різниця в тому, яке число відображено на першій гральної кістки і яке на другий. Ви також можете уявити собі, що гральні кістки різних кольорів, так, наприклад, в даному випадку одна гральна кістка червоного кольору, інша синього. Потім порахуйте кількість варіантів випадання парного числа: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). Виявляється, що є 18 варіантів для успішного результату з 36, як і в попередньому випадку, ймовірність буде дорівнює 0,5 або 50%. Можливо, несподівано, але досить точно.

Моделювання методом Монте-Карло

Що якщо у вас для такого підрахунку занадто багато гральних кісток? Наприклад, ви хочете знати наскільки ймовірним є те, що випаде сума рівна 15 або більше при кидку 8d6. Для восьми гральних кісток існує БЕЗЛІЧ різних індивідуальних результатів і їх підрахунок вручну займе дуже багато часу. Навіть якщо ми знайдемо яке-небудь хороше рішення, Щоб згрупувати різні серії кидків гральних кісток, все одно на підрахунок знадобиться дуже багато часу. В даному випадку самим простим способом порахувати вірогідність буде не брати до уваги вручну, а скористатися комп'ютером. Є два способи підрахунку ймовірності на комп'ютері.

За допомогою першого способу можна отримати точну відповідь, але він включає в себе трохи програмування або скриптинга. По суті, комп'ютер буде переглядати кожну можливість, оцінювати і підраховувати загальна кількість ітерацій і кількість ітерацій, які відповідають потрібного результату, і потім надасть відповіді. Ваш код може виглядати приблизно так:

int wincount \u003d 0, totalcount \u003d 0;

for (int i \u003d 1; i<=6; i++) {

for (int j \u003d 1; j<=6; j++) {

for (int k \u003d 1; k<=6; k++) {

... // insert more loops here

if (i + j + k + ...\u003e \u003d 15) (

float probability \u003d wincount / totalcount;

Якщо ви не розбираєтеся в програмуванні і вам просто потрібен неточний, а приблизний відповідь, ви можете змоделювати цю ситуацію в Excel, де ви підкинете 8d6 кілька тисяч разів і отримаєте відповідь. Щоб кинути 1d6 в Excel, використовуйте наступну формулу:

FLOOR (RAND () * 6) +1

Існує назва для ситуації, коли ви не знаєте відповіді і просто пробуєте безліч разів - моделювання методом Монте-Карло, І це відмінне рішення, до якого можна вдатися, коли ви намагаєтеся порахувати вірогідність, і це дуже складно. Саме чудове, що в даному випадку нам не потрібно розуміти, як відбувається математичний розрахунок, і ми знаємо, що відповідь буде "досить хорошим", тому що як ми вже знаємо, чим більше кількість кидків, тим більше результат наближається до середнього значення.

Як об'єднати незалежні випробування

Якщо ви запитаєте про декілька повторюваних, але незалежних випробуваннях, то результат одного кидка не впливає на результати інших кидків. Є ще одне більш просте пояснення даної ситуації.

Як розрізнити що-небудь залежне і незалежне? В принципі, якщо ви можете виділити кожен кидок гральної кістки (або серію кидків) як окрема подія, то він незалежний. Наприклад, ми хочемо, щоб випала сума рівна 15, кидаючи 8к6, даний випадок не може бути розділений на декілька незалежних кидків гральних кісток. Так як для результату ви вважаєте суму значень всіх гральних кісток, результат, який випав на одній гральної кістки, впливає на результати, які повинні випасти на інших гральних кістках, тому що тільки підсумовуючи все значення, ви отримаєте необхідний результат.

Ось приклад незалежних кидків: перед вами гра з гральними кістками, і ви кілька разів кидаєте шестигранні кістки. Щоб залишитися в грі, при першому кидку вам повинно випасти число 2 або значення вище. Для другого кидка - 3 або значення вище. Для третього потрібно 4 або вище, четвертого - 5 або вище, п'ятого - 6. Якщо всі п'ять кидків успішні, ви виграли. В даному випадку все кидки незалежні. Так, якщо один кидок буде невдалим, він вплине на результат всієї гри, але один кидок не впливає на інший кидок. Наприклад, якщо ваш другий кидок гральних кісток дуже вдалий, це ніяк не впливає на ймовірність того, що такі кидки будуть такими ж вдалими. Тому ми можемо розглядати ймовірність кожного кидка гральних кісток окремо.

Якщо у вас окремі, незалежні ймовірності і ви хочете знати, наскільки ймовірним є те, що усе події настануть, ви визначаєте кожну індивідуальну ймовірність і перемножуєте їх. Інший спосіб: якщо ви використовуєте союз "і", щоб описати кілька умов (наприклад, наскільки ймовірним є настання якогось випадкового події і якогось іншого незалежного випадкової події?), порахуйте окремі ймовірності і перемножте їх.

Не важливо, що ви вважаєте, ніколине підсумовується незалежні ймовірності. Це поширена помилка. Щоб зрозуміти, чому це неправильно, уявіть собі ситуацію, коли ви підкидаєте монету 50/50, ви хочете знати, наскільки ймовірним є те, що два рази поспіль випаде "орел". Вірогідність випадання кожної зі сторін 50%, тому якщо ви додаєте ці дві ймовірності, ви отримаєте 100% шанс того, що випаде "орел", але ми знаємо, що це не правда, тому що два рази поспіль могла б випасти "решка". Якщо замість цього ви помножите ці дві ймовірності, у вас вийде 50% * 50% \u003d 25%, і це правильна відповідь для розрахунку ймовірності випадання "орла" два рази поспіль.

приклад

Давайте повернемося до гри з шестигранною гральною кісткою, де потрібно, щоб спочатку випало число вище ніж 2, потім вище ніж 3 і т.д. до 6. Які шанси того, що в даній серії 5 бросаний всі результати будуть сприятливими?

Як говорилося вище, це незалежні випробування, і тому ми підраховуємо ймовірність для кожного окремого кидка, а потім множимо їх. Імовірність того, що результат першого кидка буде сприятливим, дорівнює 5/6. Другого - 4/6. Третього - 3/6. Четвертого - 2/6, п'ятого - 1/6. Множимо всі ці результати і отримуємо приблизно 1,5% ... Таким чином, перемога в цій грі буває досить рідко, тому якщо ви додасте цей елемент в вашу гру, вам потрібен буде досить великий джекпот.

заперечення

Ось ще одна корисна карта: іноді складно порахувати вірогідність того, що подія настане, але легше визначити які шанси того, що подія не наступить.

Наприклад, припустимо у нас є ще одна гра і ви кидаєте 6d6, і якщо хоча б раз випаде 6, ви виграєте. Яка ймовірність виграшу?

В даному випадку потрібно порахувати багато варіантів. Можливо, випаде одне число 6, тобто на одній з гральних кісток випаде число 6, а на інших числа від 1 до 5, і є 6 варіантів того, на якій з гральних кісток випаде число 6. Потім вам може випасти число 6 на двох гральних кістках, або на трьох, або на ще більшій кількості, і кожен раз нам потрібно зробити окремий підрахунок, тому в цьому легко заплутатися.

Але є інший спосіб вирішення цього завдання, давайте подивимося на неї з іншого боку. ви програєтеякщо ні на одній з гральних костей не випаде число 6. У даному випадку у нас є шість незалежних випробувань, ймовірність кожного з них дорівнює 5/6 (на гральної кістки може випасти будь-яке інше число крім 6). Помножте їх і отримаєте приблизно 33%. Таким чином, ймовірність програшу становить 1 до 3.

Отже, ймовірність виграшу дорівнює 67% (або 2 до 3).

З цього прикладу очевидно, що якщо ви вважайте ймовірність того, що подія не настане, потрібно відняти результат з 100%. Якщо ймовірність виграти дорівнює 67%, то ймовірність програти — 100% мінус 67%, або 33%. І навпаки. Якщо складно порахувати одну ймовірність, але легко порахувати протилежну, порахуйте протилежну, а потім відніміть з 100%.

З'єднуємо умови для одного незалежного випробування

Трохи вище я говорив, що ви ніколи не повинні підсумувати ймовірності при незалежних випробуваннях. Чи є які-небудь випадки, коли можна, можливопідсумувати ймовірності? - Так, в одній особливою ситуації.

Якщо ви хочете обчислити ймовірність для декількох, не пов'язаних між собою, сприятливих результатів одного випробування, підсумуйте ймовірності кожного успішного результату. Наприклад, ймовірність випадання чисел 4, 5 або 6 на 1к6 дорівнює сумі ймовірності випадання числа 4, ймовірно випадання числа 5 і ймовірності випадання числа 6. Також дану ситуацію можна уявити собі таким чином: якщо ви використовуєте союз "або" в питанні про ймовірність (наприклад, наскільки ймовірним є те або іншого результату одного випадкового події?), підрахуйте окремі ймовірності і підсумуйте їх.

Зверніть увагу, що коли ви просумміруете всі можливі результати гри, сума всіх ймовірностей повинна дорівнювати 100%. Якщо сума не дорівнює 100%, ваш розрахунок був зроблений невірно. Це хороший спосіб перевірити свої обчислення. Наприклад, ви проаналізували ймовірність випадання всіх комбінацій в покері, якщо ви просумміруете всі отримані результати, у вас повинно вийти рівно 100% (або принаймні значення досить близьке до 100%, якщо ви користуєтеся калькулятором, у вас може виникнути маленька помилка при округленні , але якщо ви додаєте точні числа вручну, все має зійтися). Якщо сума не сходиться, значить, швидше за все, ви не врахували якісь комбінації, або порахували ймовірності деяких комбінацій невірно і тоді вам потрібно перевірити ще раз свої обчислення.

нерівні ймовірності

До цього часу ми припускали, що кожна грань гральної кістки випадає з однаковою періодичністю, тому що таким представляється собі принцип роботи грального кубика. Але іноді ви стикаєтеся з ситуацією, коли можливі різні результати і у них різні шанси випадання. Наприклад, в одному з додатків карткової гри "Nuclear War" є ігрове поле зі стрілкою, від якого залежить результат запуску ракети: в основному, вона завдає звичайний шкоди, сильніший або слабкіший, але іноді шкоди посилюється в два або три рази, або ракета вибухає на стартовому майданчику і завдає вам шкоди, або відбувається інша подія. На відміну від ігрового поля зі стрілкою в "Chutes & Ladders" або "A Game of Life" результати ігрового поля в "Nuclear War" неравновероятни. Деякі секції ігрового поля більше за розміром і стрілка зупиняється на них набагато частіше, в той час як інші секції дуже маленькі і стрілка зупиняється на них рідко.

Отже, на перший погляд кістка виглядає приблизно наступним чином: 1, 1, 1, 2, 2, 3; ми вже говорили про неї, вона являє собою щось на зразок обтяженою 1d3, отже, нам потрібно розділити всі ці секції на рівні частини, знайти найменшу одиницю виміру, якою все кратно і потім представити ситуацію у вигляді d522 (або якийсь інший ), де безліч граней грального кубика буде відображати ту ж ситуацію, але з великою кількістю випадків. І це один із способів вирішення завдання, і він технічно виконаємо, але є простіший спосіб.

Давайте повернемося до нашої стандартної шестигранною гральної кістки. Ми говорили, що для того, щоб порахувати середнє значення кидка для нормальної гральної кістки, потрібно підсумувати значення на всіх гранях і розділити їх на кількість граней, але як самевідбувається розрахунок? Можна висловити це інакше. Для шестигранною гральної кістки ймовірність випадання кожної грані дорівнює точно 1/6. Тепер ми множимо результаткожній грані на ймовірність цього результату (в даному випадку 1/6 для кожної грані), потім підсумовуємо отримані значення. Таким чином, підсумовуючи (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), отримуємо той же результат (3,5), як і при розрахунку вище. Насправді ми вважаємо так кожен раз: множимо кожен результат на ймовірність цього результату.

Чи можемо ми зробити такий же розрахунок для стрілки на ігровому полі в грі "Nuclear War"? Звичайно можемо. І якщо ми підсумовуємо всі знайдені результати, то отримаємо середнє значення. Все, що нам потрібно зробити, це обчислити вірогідність кожного результату для стрілки на ігровому полі і помножити на результат.

Інший приклад

Цей метод розрахунку середнього значення, шляхом множення кожного результату на його індивідуальну ймовірність, також підходить, якщо результати різновірогідні, але мають різні переваги, наприклад, якщо ви кидаєте гральну кістку і виграєте більше при випаданні одних граней, ніж інших. Наприклад, візьмемо гру, яка буває в казино: ви робите ставку і кидаєте 2d6. Якщо випадуть три числа з найменшим значенням (2, 3, 4) або чотири числа з високим значенням (9, 10, 11, 12), ви виграєте суму, рівну вашої ставкою. Особливими є числа з найнижчим і найвищим значенням: якщо випаде 2 або 12, ви виграєте в два рази більше, Ніж ваша ставка. Якщо випаде будь-яке інше число (5, 6, 7, 8), ви програєте вашу ставку. Це досить проста гра. Але яка ймовірність виграшу?

Почнемо з того, що порахуємо, скільки разів ви можете виграти:

• Максимальне число випадків при киданні 2к6 становить 36. Яке кількість сприятливих результатів?
• Є 1 варіант того, що випаде два і 1 варіант того, що випаде дванадцять.
• Є 2 варіанти того, що випаде три і одинадцять.
• Є 3 варіанти того, що випаде чотири і 3 варіанти того, що випаде десять.
• Є 4 варіанти того, що випаде дев'ять.
• Підсумувавши всі варіанти, отримуємо число сприятливих результатів 16 з 36.

Таким чином, при нормальних умовах ви виграєте 16 разів з 36 можливих ... ймовірність виграшу трохи менше ніж 50%.

Але в двох випадках з цих 16 ви виграєте в два рази більше, тобто це як виграти двічі! Якщо ви будете грати в цю гру 36 разів, роблячи ставку в $ 1 кожен раз, і кожен з усіх можливих результатів випаде один раз, ви виграєте в сумі $ 18 (насправді ви виграєте 16 раз, але два рази з них будуть вважатися як два виграшу). Якщо ви граєте 36 разів і виграєте $ 18, чи не означає це, що це рівна ймовірність?

Не поспішайте. Якщо ви порахуєте кількість разів, коли ви можете програти, то у вас вийде 20, не 18. Якщо ви будете грати 36 разів, роблячи кожен раз ставку в $ 1, ви виграєте загальну суму в $ 18 при випаданні всіх сприятливих результатів ... але ви програєте загальну суму в $ 20 при випаданні всіх 20 несприятливих наслідків! В результаті, ви будете трохи відставати: ви втрачаєте в середньому $ 2 нетто за кожні 36 ігор (ви також можете сказати, що ви втрачаєте в середньому 1/18 долара в день). Тепер ви бачите, як легко в даному випадку припуститися помилки і порахувати вірогідність неправильно!

перестановка

До цього часу ми припускали, що порядок розташування чисел при киданні гральних кісток не має значення. Випадання 2 + 4 - це те ж саме, що і випадання 4 + 2. У більшості випадків ми вручну підраховуємо число сприятливих результатів, але іноді цей спосіб непрактичний і краще використовувати математичну формулу.

Приклад даної ситуації з гри з гральними кістками "Farkle". Для кожного нового раунду ви кидаєте 6d6. Якщо вам пощастить і випаде всі можливі результати 1-2-3-4-5-6 ( "стрейт"), ви отримаєте великий бонус. Яка ймовірність того, що це станеться? В даному випадку є безліч варіантів випадання даної комбінації!

Рішення виглядає наступним чином: на одній з гральних кісток (і тільки на одній) має випасти число 1! Скільки варіантів випадання числа 1 на одній гральної кістки? Шість, так як є 6 гральних кісток і на будь-який з них може випасти число 1. Відповідно, візьміть одну гральну кістку і відкладіть її в сторону. Тепер, на одній з решти гральних кісток має випасти число 2. Для цього є п'ять варіантів. Візьміть ще одну гральну кістку і відкладіть її в сторону. Потім слід, на чотирьох з решти гральних кісток може випасти число 3, на трьох з решти гральних кісток може випасти число 4, на двох - число 5 і в підсумку у вас залишається одна гральна кістка, на якій повинно випасти число 6 (в останньому випадку гральна кістка одна і вибору немає). Щоб порахувати кількість сприятливих результатів для випадання комбінації "стрейт", ми множимо всі різні, незалежні варіанти: 6x5x4x3x2x1 \u003d 720 - схоже, що є досить велика кількість варіантів того, що випаде ця комбінація.

Щоб порахувати вірогідність випадання комбінації "стрейт", нам потрібно розділити 720 на кількість всіх можливих результатів для кидання 6d6. Яке число всіх можливих результатів? На кожній гральної кістки може випасти 6 граней, тому ми множимо 6x6x6x6x6x6 \u003d 46656 (число набагато більше!). Ділимо 720/46656 і отримуємо ймовірність рівну приблизно 1,5%. Якби ви займалися дизайном цієї гри, вам би корисно було це знати, щоб ви могли створити відповідну систему підрахунку очок. Тепер ми розуміємо, чому в грі "Farkle" ви отримаєте такий великий бонус, якщо вам випаде комбінація "стрейт", тому що ця ситуація досить рідкісна!

Результат також цікавий і з іншої причини. На прикладі видно наскільки насправді рідко за короткий період випадає результат, відповідний ймовірності. Звичайно, якби ми кидали кілька тисяч гральних кісток, різні грані гральних кісток випадали б досить часто. Але коли ми кидаємо тільки шість гральних кісток, майже ніколине стається так, щоб випала кожна з граней! Виходячи з цього стає зрозуміло, що нерозумно очікувати, що зараз випаде інша грань, яка ще не випадала "тому що нам давно не випадало число 6, а значить випаде зараз".

Слухай, твій генератор випадкових чисел зламався ...

Це призводить нас до поширеній помилці з приводу ймовірності: припущення, що всі результати випадають з однаковою періодичністю протягом невеликого періоду часу, Що насправді не так. Якщо ми кидаємо гральні кістки кілька разів, періодичність випадання кожної з граней НЕ буде однаковою.

Якщо ви коли-небудь раніше працювали над онлайн грою з яким-небудь генератором випадкових чисел, ви, швидше за все, стикалися з ситуацією, коли гравець пише в службу технічної підтримки, щоб сказати, що ваш генератор випадкових чисел зламаний і не показує випадкові числа, і він прийшов до такого висновку, тому що тільки що вбив 4 монстра поспіль і отримав 4 абсолютно однакові нагороди, а ці нагороди повинні випадати тільки в 10% випадків, тому таке майже ніколи не повинно відбуватися, А значить це очевидно, Що ваш генератор випадкових чисел зламався.

Ви робите математичний розрахунок. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 дорівнює 1 з 10 000, що означає, що це досить рідкісний випадок. І саме це намагається вам сказати гравець. Чи є в даному випадку проблема?

Все залежить від обставин. Скільки гравців зараз на вашому сервері? Припустимо, у вас досить популярна гра і кожен день в неї грає 100 000 чоловік. Скільки гравців вб'ють чотири монстра поспіль? Можливо все, кілька разів за день, але давайте припустимо, що половина з них просто обмінюються різними предметами на аукціонах або переписуються на RP серверах, або виконують інші ігрові дії, таким чином, насправді на монстрів полює тільки половина з них. Яка ймовірність того, що кому-то випаде одна і та ж винагорода? При даній ситуації можна очікувати, що одна і та ж винагорода може випасти кілька разів за день, як мінімум!

До речі, тому здається, що кожні кілька тижнів по крайней мере хтось виграє в лотерею, навіть якщо цим кимось ніколине буває ви або ваші знайомі. Якщо достатня кількість людей грає щотижня, є ймовірність того, що десь знайдеться хоча б одинщасливчик ... але якщо виграєте в лотерею, ймовірність того, що ви виграєте менше ймовірності того, що вас запросять на роботу в "Infinity Ward".

Карти і залежність

Ми обговорили незалежні події, наприклад, кидання гральної кістки, і тепер знаємо багато потужних інструментів аналізу випадковості у багатьох іграх. Розрахунок ймовірності трохи складніше, коли мова йде про вийманні карт з колоди, тому що кожна карта, яку ми виймаємо, впливає на решту в колоді карти. Якщо у вас стандартна колода в 52 карти, і ви виймаєте, наприклад, 10 черв'яків і хочете знати ймовірність того, що наступна карта буде тією ж масті, ймовірність змінилася, тому що ви вже прибрали одну карту масті черви з колоди. Кожна карта, яку ви прибираєте, змінює ймовірність наступної карти в колоді. Так як в даному випадку попереднє подія впливає на наступне, ми називаємо таку ймовірність залежною.

Зверніть увагу, що коли я говорю "карти", я маю на увазі будь-яку ігрову механіку, в якій є набір об'єктів і ви прибираєте один з об'єктів, не замінюючи його, "колода карт" в даному випадку аналог мішечку з фішками, з якого ви виймаєте одну фішку і не замінюєте її, або урні, з якої ви виймаєте кольорові кульки (насправді я ніколи не бачив гру, в якій би була урна, з якої б виймали кольорові кульки, але схоже, що викладачі теорії ймовірності з якоїсь причини воліють даний приклад).

властивості залежності

Хотілося б уточнити, що коли мова йде про картах, я припускаю, що ви виймаєте карти, дивіться на них і забираєте їх з колоди. Кожне з цих дій - важлива властивість.

Якби у мене була колода, скажімо, з шести карт з числами від 1 до 6, і я б перетасував їх і вийняв одну карту і потім перетасував всі шість карт знову, це було б аналогічно кидання шестигранною гральної кістки; один результат не впливає на наступні. Тільки якщо я буду виймати карти і не буду замінювати їх, результат того, що я вийняв карту з числом 1, підвищить ймовірність того, що в наступний раз я вийму карту з числом 6 (ймовірність буде підвищуватися поки я в результаті не вийму цю карту або поки не перетасуйте карти).

Факт того, що ми дивимосяна карти, також важливий. Якщо я вийму карту з колоди і не подивлюся на неї, у мене не буде додаткової інформації, і насправді ймовірність не зміниться. Це може прозвучати нелогічно. Як просте перекидання карти може чарівним чином змінити ймовірність? Але це можливо, тому що ви можете порахувати вірогідність для невідомих предметів тільки виходячи з того, що ви знаєте. Наприклад, якщо ви перетасуете стандартну колоду карт, відкриєте 51 карту і жодна з них не буде трефової дамою, ви будете знати зі 100% упевненістю, що залишилася карта - це трефова дама. Якщо ж ви перетасуете стандартну колоду карт і виймете 51 карту, незважаючина них, то ймовірність того, що залишилася карта - трефова дама, буде все одно 1/52. Відкриваючи кожну карту, ви отримуєте більше інформації.

Підрахунок ймовірності для залежних подій виконується за тими ж принципами, як і для незалежних, за винятком того, що це трохи складніше, так як ймовірності змінюються, коли ви відкриваєте карти. Таким чином, вам потрібно перемножити багато різних значень, замість множення одного і того ж значення. Насправді це означає, що нам потрібно з'єднати всі розрахунки, які ми робили, в одну комбінацію.

приклад

Ви тасує стандартну колоду в 52 карти і виймаєте дві карти. Яка ймовірність того, що ви виймете пару? Є кілька способів вирахувати цю ймовірність, але, напевно, найпростіший виглядає наступним чином: наскільки ймовірним є те, що вийнявши одну карту, ви не зможете вийняти пару? Ця ймовірність дорівнює нулю, тому не так важливо яку першу карту ви вийняли, за умови, що вона збігається з другої. Не важливо яку саме карту ми виймемо першої, у нас все одно є шанс вийняти пару, тому ймовірність того, що ми можемо вийняти пару, після того як вийняли першу карту, дорівнює 100%.

Яка ймовірність того, що друга карта співпаде з першою? У колоді залишається 51 карта і 3 з них збігаються з першою картою (взагалі-то їх було б 4 з 52, але ви вже прибрали одну із співпадаючих карт, коли вийняли першу карту!), Тому ймовірність дорівнює 1/17. (Тому, коли наступного разу хлопець, який сидить за столом навпроти вас за грою в техаський холдем, скаже: "Круто, ще одна пара? Мені сьогодні везе", ви будете знати, що є досить високий шанс того, що він блефує.)

Що якщо ми додамо два джокера і тепер у нас в колоді 54 карти, і ми хочемо знати наскільки ймовірним є вийняти пару? Першою картою може виявитися джокер і тоді в колоді буде тільки однакарта, а не три, яка співпаде. Як знайти ймовірність в даному випадку? Ми розділимо ймовірності і перемножимо кожну можливість.

Нашою першою картою може бути джокер або якась інша карта. Імовірність вийняти джокер дорівнює 2/54, ймовірність вийняти якусь іншу карту дорівнює 52/54.

Якщо перша карта - джокер (2/54), то ймовірність того, що друга карта співпаде з першої дорівнює 1/53. Перемножуємо значення (ми можемо перемножити їх, тому що це окремі події, і ми хочемо, щоб обидваподії відбулися) і отримуємо 1/1431 - менше ніж одну десяту відсотка.

Якщо першій ви виймаєте якусь іншу карту (52/54), ймовірність збігу з другої картою дорівнює 3/53. Перемножуємо значення і отримуємо 78/1431 (трохи більше ніж 5,5%).

Що ми робимо з цими двома результатами? Вони не перетинаються, і ми хочемо знати ймовірність кожногоз них, тому ми підсумовуємо значення! Отримуємо остаточний результат 79/1431 (все одно приблизно 5,5%).

Якби ми хотіли бути впевненими в точності відповіді, ми могли б порахувати вірогідність всіх інших можливих результатів: виймання джокера і розбіжність з другої карткою або виймання якийсь інший карти і розбіжність з другої картою і, підсумувавши їх все з ймовірністю виграшу, ми б отримали рівно 100%. Я не буду приводити тут математичний розрахунок, але ви можете спробувати порахувати, щоб перевірити ще раз.

Парадокс Монті Холла

Це призводить нас до досить відомому парадоксу, який часто призводить багатьох в замішання - парадокс Монті Холла. Парадокс названий на честь провідного телешоу "Let's Make a Deal" Монті Холла. Якщо ви ніколи не бачили це шоу, воно було протилежністю телешоу "The Price Is Right". В "The Price Is Right" провідний (раніше ведучим був Боб Баркер, зараз це ... Дрю Кері? У будь-якому випадку ...) - ваш друг. він хоче, Щоб ви виграли гроші або класні призи. Він намагається надати вам кожну можливість для виграшу, за умови, що ви зможете вгадати скільки насправді коштують предмети, придбані спонсорами.

Монті Холл поводився інакше. Він був як злий близнюк Боба Баркера. Його мета була зробити так, щоб ви виглядали як ідіот на національному телебачення. Якщо ви брали участь в шоу, він був вашим противником, ви грали проти нього, і шанси на виграш були в його користь. Можливо, я занадто різко висловлююся, але коли шанс того, що тебе оберуть в якості суперника здається прямо пропорційним тому, носите ви безглуздий костюм, я приходжу до подібного роду висновків.

Але один з найвідоміших мемів шоу був наступним: перед вами було троє дверей, і вони називалися Двері номер 1, Двері номер 2 і Двері номер 3. Ви могли вибрати якусь одну двері ... безкоштовно! За однією з цих дверей, знаходився чудовий приз, наприклад, новий легковий автомобіль. За іншими дверима не було ніяких призів, ці двоє дверей не являли собою ніякої цінності. Їх метою було принизити вас і тому не то, щоб за ними зовсім нічого не було, за ними було щось, що виглядало безглуздо, наприклад, за ними стояв козел або величезний тюбик зубної пасти, або щось ... щось, що точно було нЕ новим легковим автомобілем.

Ви вибирали одну з дверей і Монті вже збирався відкрити її, щоб ви дізналися виграли ви чи ні ... але почекайте, перед тим як ми дізнаємося, Давайте подивимося на одну з тих дверей, яку ви не обрали. Так як Монті знає, за який дверима знаходиться приз, а є тільки один приз і дві двері, які ви не вибрали, не дивлячись ні на що він завжди може відкрити двері, за якими немає призу. "Ви вибираєте Двері номер 3? Тоді, давайте відкриємо Двері номер 1, щоб показати, що за нею не було призу ". А тепер, з щедрості він пропонує вам шанс обміняти обрану Двері номер 3 на те, що знаходиться за Дверима номер 2. Саме в цей момент виникає питання про ймовірність: можливість вибрати іншу двері підвищує вашу ймовірність виграти або знижує, або вона залишається незмінною? Як ви думаєте?

Вірна відповідь: можливість вибрати іншу двері збільшуєймовірність виграшу з 1/3 до 2/3. Це не логічно. Якщо раніше ви не стикалися з даними парадоксом, швидше за все, ви думаєте: почекайте, відкривши одну двері, ми чарівним чином змінили ймовірність? Але як ми вже бачили на прикладі з картами вище, це самето, що відбувається, коли ми отримуємо більше інформації. Це очевидно, що ймовірність виграшу, коли ви вибираєте в перший раз, дорівнює 1/3, і я вважаю, що з цим всі погодяться. Коли відривається одні двері, це абсолютно не змінює ймовірність виграшу для першого вибору, все одно ймовірність дорівнює 1/3, але це означає, що ймовірність того, що іншадвері правильна тепер дорівнює 2/3.

Давайте подивимося на цей приклад з іншого боку. Ви вибираєте двері. Імовірність виграшу дорівнює 1/3. Я пропоную вам поміняти двіінші двері, що насправді і пропонує зробити Монті Холл. Звичайно, він відкриває одну з дверей, щоб показати, що за нею немає призу, але він завждиможе вчинити так, тому це насправді нічого не змінює. Звичайно, вам захочеться вибрати інші двері!

Якщо ви не зовсім розібралися з цим питанням, і вам потрібно більш переконливе пояснення, натисніть на це посилання, щоб перейти до чудового маленького Flash з додатком, яке дозволить вам вивчити цей парадокс більш докладно. Ви можете грати, починаючи з приблизно 10 дверей і потім поступово перейти до гри з трьома дверима; є також симулятор, де ви можете вибрати будь-яку кількість дверей від 3 до 50 і грати або запустити кілька тисяч симуляцій і подивитися скільки б раз ви виграли якби грали.

Ремарка від викладача вищої математики та спеціаліста по ігровому балансу Максима Солдатова, якій, зрозуміло, не було у Шрайбера, але без якої зрозуміти це чарівне перетворення досить важко:

Вибираєте двері, одну з трьох, ймовірність «виграти» 1/3. Тепер у вас є 2 стратегії: поміняти після відкриття невірної двері вибір чи ні. Якщо ви не міняєте свій вибір, то ймовірність так і залишиться 1/3, так як вибір йде тільки на першому етапі, і треба відразу вгадати, якщо ж меняеете, то виграти ви можете, якщо виберете спершу невірну двері (потім відкриють іншу невірну, залишиться вірна, ти змінюючи рішення як раз її і береш)
Імовірність вибрати на початку невірну двері 2/3, ось і виходить, що помінявши своє рішення ви ймовірність виграшу робите в 2 рази більше

І знову про парадокс Монті Холла

Що стосується самого шоу, Монті Холл знав це, тому що навіть якщо його суперники не були сильні в математиці, він розбирається в ній добре. Ось що він робив, щоб трохи змінити гру. Якщо ви вибирали двері, за якої знаходився приз, ймовірність чого дорівнює 1/3, він завждипропонував вам можливість вибрати іншу двері. Адже ви вибрали легковий автомобіль і потім ви поміняєте його на козла і будете виглядати досить безглуздо, а це саме те, що йому потрібно, тому що він свого роду злий хлопець. Але якщо ви оберете двері, за якими нЕ буде призу, тільки в половині таких випадків він запропонує вам вибрати інші двері, а в інших випадках він просто покаже вам вашого нового козла, і ви підете зі сцени. Давайте проаналізуємо цю нову гру, в якій Монті Хол може вибратипропонувати вам шанс вибрати іншу двері чи ні.

Припустимо, він слід даним алгоритмом: якщо ви вибираєте двері з призом, він завжди пропонує вам можливість вибрати іншу двері, в іншому випадку ймовірність того, що він запропонує вам вибрати інші двері або подарує козла дорівнює 50/50. Яка ймовірність вашого виграшу?

В одному з трьох варіантів ви відразу вибираєте двері, за якими знаходиться приз, і ведучий пропонує вам вибрати інші двері.

З решти двох варіантів з трьох (ви спочатку вибираєте двері без призу) в половині випадків ведучий запропонує вам вибрати інші двері, а в іншій половині випадків - ні. Половина від 2/3 це 1/3, тобто в одному випадку з трьох ви отримаєте козла, в одному випадку з трьох ви оберете неправильну двері і ведучий запропонує вам вибрати іншу і в одному випадку з трьох ви оберете правильну двері, і він запропонує вам вибрати інші двері.

Якщо ведучий пропонує вибрати інші двері, ми вже знаємо, що той один випадок з трьох, коли він дарує нам козла, і ми йдемо, не сталося. Це корисна інформація, тому що це означає, що наші шанси на виграш змінилися. У двох випадках з трьох, коли у нас є можливість вибрати, в одному випадку це означає, що ми вгадали правильно, а в іншому, що ми вгадали неправильно, тому якщо нам взагалі запропонували можливість вибрати, це означає, що ймовірність нашого виграшу дорівнює 50 / 50, і немає ніякої математичної вигоди, залишатися при своєму виборі або вибирати інші двері.

Як і покер, тепер це гра психологічна, а не математична. Монті запропонував вам вибір, тому що він думає, що ви простак, який не знає, що вибрати інші двері - це "правильне" рішення, і що ви наполегливо будете триматися за свій вибір, тому що психологічно ситуація, коли ви вибрали автомобіль, а потім втратили його, складніше? Або він думає, що ви розумний і виберіть іншу двері, і він пропонує вам цей шанс, тому що він знає, що ви вгадали спочатку правильно і що ви потрапите на гачок і опинитеся в пастці? Або може бути він нетипово добрий для себе і підштовхує вас зробити щось у вашому особистому інтересі, тому що він вже давно не дарував легковий автомобіль, і його продюсери кажуть йому, що глядачам стає нудно і краще б він подарував великий приз незабаром , щоб рейтинги не падали?

Таким чином, Монті вдається пропонувати вибір (іноді) і при цьому загальна ймовірність виграшу залишається рівною 1/3. Пам'ятайте, що ймовірність того, що ви програєте відразу, дорівнює 1/3. Імовірність того, що ви вгадаєте відразу правильно, дорівнює 1/3, і в 50% цих випадків ви виграєте (1/3 x 1/2 \u003d 1/6). Імовірність того, що ви вгадаєте спочатку неправильно, але потім у вас буде шанс вибрати інші двері, дорівнює 1/3, і в 50% цих випадків ви виграєте (також 1/6). Підсумуйте дві незалежні одна від одної можливості виграшу, і ви отримаєте можливість рівну 1/3, тому не важливо залишитеся ви при своєму виборі або виберіть іншу двері, загальна ймовірність вашого виграшу протягом всієї гри дорівнює 1/3 ... ймовірність не стає більше, ніж в тій ситуації, коли ви б вгадали двері і ведучий б вам показав, що знаходиться за цими дверима, без можливості вибрати інші двері! Тому сенс пропонувати можливість вибрати іншу двері не в тому, щоб змінити ймовірність, а в тому, щоб зробити процес прийняття рішення більш захоплюючим для телевізійного перегляду.

До речі, це одна з тих самих причин, чому покер може бути таким цікавим: в більшості форматів між раундами, коли робляться ставки (наприклад, флоп, терен і рівер в техаському холдеме), поступово відкриваються карти, і якщо на початку гри у вас одна ймовірність виграти, то після кожного раунду ставок, коли відкрито більше карт, ця ймовірність змінюється.

Парадокс хлопчика і дівчинки

Це призводить нас до іншого відомого парадоксу, який, як правило, всіх спантеличує - парадоксу хлопчика і дівчинки. Єдине, про що я пишу сьогодні, і що не пов'язане безпосередньо з іграми (хоча я припускаю, що це просто означає, що я повинен підштовхнути вас на створення відповідної ігрової механіки). Це скоріше головоломка, але цікава, і щоб розв'язати цю проблему, потрібно розуміти умовну ймовірність, про яку ми говорили вище.

Завдання: у мене є друг з двома дітьми, хоча б один дитина - дівчинка. Яка ймовірність того, що друга дитина теждівчинка? Давайте припустимо, що в будь-якій сім'ї шанс народження дівчинки чи хлопчика 50/50 і це справедливо для кожної дитини (насправді в спермі деяких чоловіків більше сперматозоїдів з X-хромосомою або Y-хромосомою, тому ймовірність трохи змінюється, якщо ви знаєте, що одна дитина - дівчинка, ймовірність народження дівчинки трохи вище, крім того є ще інші умови, наприклад, гермафродитизм, але для вирішення цього завдання, ми не будемо брати це до уваги і припустимо, що народження дитини - це незалежне подія і ймовірність народження хлопчика або дівчинки однакова).

Так як мова йде про шанс 1/2, інтуїтивно ми очікуємо, що відповідь буде, швидше за все, 1/2 або 1/4, або якесь інше кругле число, кратне двом. Але відповідь: 1/3 . Зачекайте, чому?

Складність в даному випадку в тому, що інформація, яка у нас є, скорочує кількість можливостей. Припустимо, батьки - фанати Вулиці Сезам і незалежно від того, народився хлопчик чи дівчинка, назвали своїх дітей A і B. При нормальних умовах є чотири рівноімовірні можливості: A і B - два хлопчики, A і B - дві дівчинки, A - хлопчик і B - дівчинка, A - дівчинка і B - хлопчик. Так як ми знаємо, що хоча б один дитина - дівчинка, ми можемо виключити можливість, що A і B - два хлопчики, таким чином, у нас залишається три (все ще рівно можливих) можливості. Якщо всі можливості різновірогідні і їх три, ми знаємо, що ймовірність кожної з них дорівнює 1/3. Тільки в одному з цих трьох варіантів обидві дитини - дві дівчинки, тому відповідь 1/3.

І знову про парадокс хлопчика і дівчинки

Рішення завдання стає ще більш нелогічними. Уявіть, що я скажу вам, що у мого друга двоє дітей і одна дитина - дівчинка, яка народилася у вівторок. Припустимо, що при нормальних умовах ймовірність народження дитини в один з семи днів тижня однакова. Яка ймовірність того, що друга дитина теж дівчинка? Ви можете подумати, що відповідь все одно буде 1/3; яке значення має вівторок? Але і в цьому випадку інтуїція підводить нас. відповідь: 13/27 , Що не просто не інтуїтивно, це дуже дивно. В чому справа в даному випадку?

Насправді вівторок змінює ймовірність, тому що ми не знаємо, якийдитина народилася у вівторок або можливо двоє дітей народилися у вівторок. В даному випадку використовуємо ту ж логіку, як і вище, ми вважаємо всі можливі комбінації, коли хоча б одна дитина - дівчинка, яка народилася у вівторок. Як і в попередньому прикладі припустимо, що дітей звуть A і B, комбінації виглядають наступним чином:

• A - дівчинка, яка народилася у вівторок, B - хлопчик (в даній ситуації є 7 можливостей, по одній для кожного дня тижня, коли міг народиться хлопчик).
• В - дівчинка, яка народилася у вівторок, А - хлопчик (також 7 можливостей).
• A - дівчинка, яка народилася у вівторок, В - дівчинка, яка народилася в інший день тижня (6 можливостей).
• В - дівчинка, яка народилася у вівторок, А - дівчинка, яка народилася не у вівторок (також 6 ймовірностей).
• А і В - дві дівчинки, які народилися у вівторок (1 можливість, потрібно звернути на це увагу, щоб не порахувати двічі).

Підсумовуємо і отримуємо 27 різних рівно можливих комбінацій народження дітей і днів з хоча б однією можливістю народження дівчинки у вівторок. З них 13 можливостей, коли народжуються дві дівчинки. Також це виглядає абсолютно нелогічно, і схоже дана задача створена тільки для того, щоб викликати головний біль. Якщо ви до цих пір спантеличені цим прикладом, у ігрового теоретика Йеспера Юла є гарне пояснення цього питання на його сайті.

Якщо зараз ви працюєте над грою ...

Якщо в грі, дизайном якої ви займаєтеся, є випадковість, це відмінний привід проаналізувати її. Виберіть який-небудь елемент, який ви хочете проаналізувати. Спочатку запитайте себе наскільки ймовірним є для даного елемента по вашим очікуванням, якою вона повинна бути, на вашу думку, в контексті гри. Наприклад, якщо ви створюєте RPG і думаєте, якою має бути ймовірність того, що гравець зможе перемогти монстра в битві, запитайте себе яке процентне відношення перемог здається вам правильним. Зазвичай під час гри в консольні RPG, гравці дуже засмучуються при ураженні, тому краще, щоб вони програвали не часто ... може в 10% випадків або менше? Якщо ви дизайнер RPG, ви, напевно, знаєте краще, ніж я, але потрібно, щоб у вас була базова ідея того, якою має бути ймовірність.

Потім запитайте себе чи є це чимось залежним(Як карти) або незалежним(Як гральні кості). Розберіть всі можливі результати і їх ймовірності. Переконайтеся в тому, що сума всіх ймовірностей дорівнює 100%. І нарешті, звичайно, порівняйте отримані результати з результатами ваших очікувань. Чи відбувається кидання гральних кісток або виймання карток таким чином, як ви задумали або ви бачите, що вам потрібно коригувати значення. І, звичайно, якщо ви знайдете, Що потрібно коригувати, ви можете використовувати ті ж розрахунки, щоб визначити наскільки потрібно щось скорегувати!

Завдання на будинок

Ваше "домашнє завдання" на цьому тижні допоможе вам відточити свої навички роботи з ймовірністю. Ось дві гри в кості і карткова гра, які вам належить аналізувати, використовуючи ймовірність, а також дивна механіка гри, яку я колись розробляв - на її прикладі ви перевірите метод Монте-Карло.

Гра №1 - Драконьи кістки

Це гра в кості, яку ми якось раз придумали з колегами (спасибі Джебу Хевенса і Джессі Кінгу!), І яка спеціально виносить мозок людям своїми можливостями. Це проста гра казино, яка називається "Дракон кістки", і це азартне змагання в кістки між гравцем і закладом. Вам дається звичайний кубик 1d6. Мета гри - викинути число більше, ніж у закладу. Тому дається нестандартний 1d6 - такий же, як і у вас, але замість одиниці на одній грані - зображення Дракона (таким чином, у казино кубик Дракон-2-3-4-5-6). Якщо закладу випадає Дракон, воно автоматично виграє, а ви - програєте. Якщо вам обом випадає однакова кількість, це нічия, і ви кидаєте кістки знову. Переможе той, хто викине більше число.

Зрозуміло, все складається не зовсім на користь гравця, адже у казино є перевага у вигляді межі Дракона. Але чи дійсно це так? Вам і належить це обчислити. Але перед цим перевірте свою інтуїцію. Припустимо, що виграш становить 2 до 1. Таким чином, якщо ви перемагаєте, ви зберігаєте свою ставку і отримуєте її подвоєну суму. Наприклад, якщо ви ставите 1 долар і виграєте, ви зберігаєте цей долар і отримуєте ще 2 зверху, разом - 3 долари. Якщо програєте - втрачаєте тільки свою ставку. Зіграли б ви? Так ось, чи відчуваєте ви інтуїтивно, що ймовірність більше, ніж до 2 до 1, або все-таки вважаєте, що менше? Іншими словами, в середньому за 3 гри ви розраховуєте виграти більше одного разу, або менш, або один раз?

Як тільки з інтуїцією розібралися, застосовуйте математику. Для обох гральних кісток існує лише 36 можливих положень, так що ви без проблем можете прорахувати їх все. Якщо ви не впевнені в цьому реченні "2 до 1", подумайте ось про що: припустимо, ви зіграли в гру 36 раз (кожен раз ставлячи по 1 долару). Через кожної перемоги ви отримуєте 2 долари, через програш - втрачаєте 1, а нічия нічого не змінює. Порахуйте всі свої ймовірні виграші і програші і вирішите, втратите ви деяку суму доларів, або ж придбаєте. Потім запитайте себе, наскільки права виявилася ваша інтуїція. А потім - усвідомте, який же я лиходій.

І, так, якщо ви вже задумалися над цим питанням - я навмисно збиваю вас з пантелику, спотворюючи справжню механіку ігор в кістки, але я впевнений, ви зможете подолати цю перешкоду, всього лише гарненько подумавши. Спробуйте вирішити цю задачу самостійно. Я опублікую всі відповіді тут на наступному тижні.

Гра №2 - Кидок на удачу

Це азартна гра в кості, яка називається "Кидок на удачу" (також "Пташина клітка", тому що іноді кістки не кидають, а поміщають у велику дротяну клітку, що нагадує клітку з "Бінго"). Ця проста гра, суть якої зводиться приблизно до цього: поставте, скажімо, 1 долар на число від 1 до 6. Потім ви кидаєте 3d6. За кожну кістку, на якій випадає ваше число, ви отримуєте 1 долар (і зберігаєте свою початкову ставку). Якщо ні на одній кістки ваше число не випадає, казино отримує ваш долар, а ви - нічого. Таким чином, якщо ви ставите на 1, і вам тричі випадає одиниця на гранях, ви отримуєте 3 долари.

Інтуїтивно здається, що в цій грі рівні шанси. Кожна кістка - це індивідуальний, 1 до 6, шанс виграти, так що в сумі всіх трьох ваш шанс виграти дорівнює 3 до 6. Однак, зрозуміло, пам'ятайте, що ви доданків три окремих кістки, і вам дозволено складати тільки за умови, що ми говоримо про окремі виграшних комбінаціях однієї і тієї ж кістки. Щось вам потрібно буде помножити.

Як тільки ви обчисліть всі можливі результати (ймовірно, це буде легше зробити в Excel, ніж від руки, адже їх 216), гра на перший погляд все ще виглядає парному-непарного. Але насправді, у казино все ж більше шансів виграти - наскільки більше? Зокрема, скільки в середньому ви розраховуєте програти грошей за кожен раунд гри? Все, що вам потрібно зробити - підсумовувати виграші і програші всіх 216 результатів, а потім розділити на 216, що має бути досить просто ... Але, як бачите, тут є кілька пасток, в які ви можете потрапити, і саме тому я кажу вам: якщо вам здається, що в цій грі рівні шанси на виграш, ви все неправильно зрозуміли.

Гра №3 - 5-картковий стад покер

Якщо ви вже розім'ялися на попередніх іграх, давайте перевіримо, що ми знаємо про умовної ймовірності, на прикладі цієї карткової гри. Зокрема, давайте уявимо собі покер з колодою на 52 карти. Давайте також представимо 5-картковий стад, де кожен гравець отримує тільки по 5 карт. Не можна скинути карту, можна витягнути нову, ніякої загальної колоди - ви отримуєте лише 5 карт.

Роял-флеш - це 10-J-Q-K-A в одній комбінації, всього їх чотири, таким чином, існує чотири можливих способу отримати роял-флеш. Розрахуйте ймовірність того, що вам випаде одна така комбінація.

Я повинен попередити вас про одне: пам'ятайте, що ви можете витягнути ці п'ять карт в будь-якому порядку. Тобто спочатку ви можете витягнути туза, або десятку, неважливо. Так що, розраховуючи це, майте на увазі, що насправді існує більше чотирьох способів отримати роял-флеш, якщо припустити, що карти видавалися по порядку!

Гра №4 - Лотерея IMF

Четверту завдання не вийде так просто вирішити методами, про які ми сьогодні говорили, але ви легко зможете змоделювати ситуацію за допомогою програмування або ж Excel. Саме на прикладі цього завдання ви зможете відпрацювати метод Монте-Карло.

Я вже згадував раніше гру "Chron X", над якою колись працював, і там була одна дуже цікава карта - лотерея IMF. Ось як вона працювала: ви використовували її в грі. Після того, як раунд завершувався, карти перерозподілялися, і існувала можливість в 10%, що карта вийде з гри, і що випадковий гравець отримає 5 одиниць кожного типу ресурсу, фішка якого була присутня на цій карті. Карта вводилася в гру без єдиної фішки, але, кожен раз, залишаючись в грі на початку наступного раунду, вона отримувала одну фішку. Таким чином, існував 10% шанс того, що ви введете її в гру, раунд закінчується, карта покине гру, і ніхто нічого не отримає. Якщо цього не станеться (з ймовірністю 90%), з'являється 10% шанс (взагалі-то 9%, оскільки це 10% з 90%), що в наступному раунді вона покине гру, і хтось отримає 5 одиниць ресурсів. Якщо карта покине гру через один раунд (10% від наявних 81%, так що ймовірність - 8,1%), хтось отримає 10 одиниць, ще через раунд - 15, ще - 20, і так далі. Питання: яке взагалі очікуване значення числа ресурсів, які ви отримаєте від цієї карти, коли вона нарешті покине гру?

Зазвичай ми б спробували вирішити цю задачу, знайшовши можливість кожного результату, і помноживши на кількість всіх результатів. Таким чином, існує ймовірність в 10%, що ви отримаєте 0 (0.1 * 0 \u003d 0). 9%, що ви отримаєте 5 одиниць ресурсів (9% * 5 \u003d 0.45 ресурсів). 8,1% того, що ви отримаєте 10 (8.1% * 10 \u003d 0.81 ресурсів в цілому, очікуване значення). І так далі. А потім ми б все це підсумовували.

А тепер вам очевидна проблема: завжди є шанс того, що карта нЕ покине гру, так що вона може залишитися в грі назавжди, На нескінченне число раундів, так що можливості прорахувати будь-яку можливість не існує. Методи, вивчені нами сьогодні, не дають нам можливості прорахувати нескінченну рекурсію, так що нам доведеться створити її штучним шляхом.

Якщо ви досить добре розбираєтеся в програмуванні, напишіть програму, яка буде симулювати цю карту. У вас повинна бути тимчасова петля, яка призводить змінну в початкове положення нуля, показує випадкове число і з ймовірністю 10% змінна виходить з петлі. В протилежному випадку вона додає 5 до змінної, і цикл повторюється. Коли вона нарешті вийде з петлі, збільште загальне число пробних пусків на 1 і загальне число ресурсів (наскільки - залежить від того, на якому значенні зупинилася змінна). Потім скиньте змінну і почніть заново. Запустіть програму кілька тисяч разів. Зрештою розділіть загальна кількість ресурсів на загальну кількість пробігів - це і буде ваше майбутнє значення методу Монте-Карло. Запустіть програму кілька разів, щоб упевнитися, що числа, які ви отримали, приблизно однакові; якщо розкид все ще великий, збільште число повторів у зовнішній петлі, поки не почнете отримувати відповідності. Можете бути впевнені, які б числа ви в підсумку ні отримали, вони будуть приблизно вірні.

Якщо ж ви не знайомі з програмуванням (а хоча навіть якщо і знайомі), ось вам невелику вправу на розминку ваших навичок роботи з Excel. Якщо ви - гейм-дизайнер, навички роботи з Excel ніколи зайвими не бувають.

Зараз вам дуже знадобляться функції IF і RAND. RAND не потребує значень, вона всього лише видає випадкове десяткове число від 0 до 1. Зазвичай ми поєднуємо його з FLOOR і плюсами і мінусами, щоб симулювати кидок кістки, про що я вже згадував раніше. Втім, в цьому випадку ми всього лише залишаємо ймовірність в 10% того, що карта покине гру, так що ми можемо просто перевірити, чи не становить чи значення RAND менше 0,1, і більше не забивати собі цим голову.

IF має три значення. Один по одному: умова, яке або вірно, чи ні, потім значення, яке повертається, якщо умова вірна, і значення, яке повертається, якщо умова невірно. Так що наступна функція буде повертатися 5% часу, і 0 решти 90% часу:
\u003d IF (RAND ()<0.1,5,0)

Існує багато способів встановити цю команду, але я б використовував таку формулу для осередку, яка представляє перший раунд, скажімо, це осередок A1:

IF (RAND ()<0.1,0,-1)

Тут я використовую негативну зміну в значенні "ця карта не покинула гру і поки не віддала ніяких ресурсів". Так що, якщо перший раунд завершився, і карта покинула гру, A1 - це 0; в протилежному випадку це -1.

Для наступної комірки, що представляє другий раунд:

IF (A1\u003e -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1))

Так що, якщо перший раунд завершився, і карта відразу покинула гру, A1 - це 0 (число ресурсів), і ця осередок просто скопіює це значення. В протилежному випадку A1 - -1 (карта ще не покинула гру), і ця осередок продовжує випадкове рух: 10% часу вона буде повертати 5 одиниць ресурсів, в решту часу її значення буде як і раніше дорівнювати -1. Якщо застосовувати цю формулу до додатковим осередкам, ми отримаємо додаткові раунди, і, яка б осередок ні випала вам в кінці, ви отримаєте кінцевий результат (або -1, якщо карта так і не покинула гру після всіх розіграних вами раундів).

Візьміть цей ряд осередків, який представляє собою єдиний раунд з цією картою, і копіюйте і вставте кілька сотень (або тисяч) рядів. Можливо, у нас і не вийде зробити нескінченнийтест для Excel (існує обмежена кількість осередків в таблиці), але, по крайней мере, ми можемо розглянути більшість випадків. Потім виділіть одну комірку, в якій ви помістіть середнє значення результатів усіх раундів (Excel люб'язно надає функцію AVERAGE () для цього).

У Windows ви хоча б можете натиснути F9 для перерахунку всіх випадкових чисел. Як і раніше, зробіть це кілька разів і подивіться, чи однакові величини, які ви отримуєте. Якщо розкид дуже великий, подвійте число пробігів і спробуйте знову.

Не розв'язані задачі

Якщо ви абсолютно випадково маєте науковий ступінь в області Вірогідність і вищенаведені завдання здаються вам занадто легкими, ось два завдання, над якими я ламаю голову роками, але, на жаль, я не такий гарний в математиці, щоб їх вирішити. Якщо ви раптом знаєте рішення, будь ласка, опублікуйте його тут в коментарях, я із задоволенням його прочитаю.

Невирішена задача №1: ЛотереяIMF

Перша невирішена задача - попереднє завдання додому. Я легко можу застосувати метод Монте-Карло (за допомогою С ++ або ж Excel), і буду впевнений у відповіді на питання "скільки ресурсів отримає гравець", але я не знаю точно, як надати точний доказовий відповідь математично (це ж нескінченна серія ). Якщо ви знаєте відповідь, опублікуйте його тут ... після того, як перевірите його методом Монте-Карло, зрозуміло.

Невирішена задача №2: Послідовності фігур

Це завдання (і знову вона виходить далеко за межі завдань, що вирішуються в цьому блозі) мені підкинув один знайомий геймер більше 10 років тому. Він зауважив одну цікаву особливість, граючи в Вегасі в блек-джек: виймаючи карти з черевика на 8 колод, він бачив десять фігур поспіль (фігура, або фігурна карта - 10, Джокер, Король або Королева, так що все їх 16 в стандартній колоді на 52 карти, таким чином, їх 128 в черевику на 416 карт). Яка ймовірність того, що в цьому черевику щонайменше одна послідовність десяти або більшфігур? Припустимо, що їх тасували чесно, в випадковому порядку. (Або ж, якщо вам так більше подобається, наскільки ймовірним є те, що ніде не зустрічається послідовність з десяти або більше фігур?)

Чи можемо спростити завдання. Ось послідовність з 416 частин. Кожна частина - 0 або 1. Є 128 одиниць і 288 нулів, випадково розкиданих по всій послідовності. Скільки існує способів у випадковому порядку перемежовуючи 128 одиниць 288 нулями, і скільки разів в цих способах зустрінеться як мінімум одна група десяти або більше одиниць?

Всякий раз, як я тільки починав за рішення цього завдання, вона здавалася мені легкою і очевидною, але, варто було мені заглибитися в деталі, вона раптово розвалювалася на частини і здавалася мені просто-таки неможливою. Так що не поспішайте випалювати відповідь: сядьте, гарненько подумайте, вивчіть умови задачі, спробуйте підставити реальні числа, тому що всі люди, з якими я говорив про це завдання (в тому числі і кілька аспірантів, які працюють в цій сфері), реагували приблизно однаково : "Це ж абсолютно очевидно ... ой, ні, постривай, зовсім не очевидно". Це той самий випадок, на який у мене немає методу для прораховування всіх варіантів. Я безумовно міг би прогнати завдання методом брутфорса через комп'ютерний алгоритм, але набагато цікавіше було б дізнатися математичний спосіб вирішення цього завдання.

Переклад - Ю. Ткаченко, І. Міхєєва

Що таке три закони випадковості і чому непередбачуваність дає нам можливість робити найнадійніші передбачення.

Наш розум усіма силами опирається ідеї випадковості. В ході нашої еволюції як біологічного виду у нас розвинулася здатність у всьому шукати причинно-наслідкові зв'язки. Задовго до виникнення науки ми вже знали, що багряно-червоний захід віщує небезпечну бурю, а гарячковий рум'янець на обличчі немовляти означає, що його матері належить непроста ніч. Наш розум автоматично намагається структурувати отримані дані таким чином, щоб вони допомагали нам робити висновки з наших спостережень і використовувати ці висновки для розуміння і передбачення подій.

Ідею випадковості так важко прийняти, тому що вона суперечить базовому інстинкту, що змушує нас шукати в навколишньому світі раціональні закономірності. А випадковості якраз і демонструють нам, що подібних закономірностей не існує. Значить, випадковість фундаментально обмежує нашу інтуїцію, оскільки доводить, що існують процеси, хід яких ми не можемо повністю передбачити. Цю концепцію нелегко прийняти, навіть незважаючи на те, що вона є найважливішою складовою частиною механізму Всесвіту. Не розуміючи того, що таке випадковість, ми опиняємося в глухому куті ідеально передбачуваного світу, якого просто-напросто не існує за межами нашої уяви.

Я б сказав, що лише тоді, коли ми зрозуміємо три афоризму - три закони випадковості, - ми зможемо звільнитися від нашого примітивного прагнення до передбачуваності і прийняти Всесвіт таким, яким воно є, а не такою, якою ми хотіли б її бачити.

випадковість існує

Ми використовуємо будь-які ментальні механізми, лише б не глянути в обличчя випадковості. Ми розмірковуємо про карму, про це космічному зрівнювач, який пов'язує явно не пов'язані між собою речі. Ми віримо в хороші і погані прикмети, в те, що «бог любить трійцю», ми стверджуємо, що на нас впливають розташування зірок, фази Місяця і рух планет. Якщо у нас виявили рак, ми автоматично намагаємося покласти відповідальність за це на щось (або на кого-то).

Але багато подій неможливо повністю передбачити чи пояснити. Катастрофи відбуваються непередбачено, і страждають при цьому як хороші, так і погані люди, в тому числі і ті, хто народився «під щасливою зіркою» або «під сприятливим знаком». Іноді нам вдається щось передбачити, але випадковість може легко спростувати навіть найнадійніші прогнози. Не дивуйтеся, якщо ваш сусід, який страждає на ожиріння і безперервно палить байкер-лихач, проживе довше, ніж ви.

Більш того, випадкові події можуть прикидатися невипадковими. Навіть у самого проникливого вченого можуть виникнути труднощі з розрізненням дійсного слідства і випадкової флуктуації. Випадковість може перетворити плацебо в чарівне ліки, а нешкідливі з'єднання на смертельну отруту; і навіть може з нічого створити субатомні частинки.

Деякі події передбачити неможливо

Якщо зайти в яке-небудь казино в Лас-Вегасі і поспостерігати за натовпом гравців у гральних столів, ви, ймовірно, побачите когось, хто вважає, що йому сьогодні везе. Він виграв кілька разів поспіль, і його мозок запевняє його, що він буде і далі вигравати, тому гравець продовжує робити ставки. Ви також побачите кого-небудь, хто тільки що програв. Мозок програв, як і мозок переможця, також радить йому продовжувати гру: якщо вже ти програв стільки раз поспіль, значить, тепер напевно почне везти. Нерозумно піти зараз і упустити такий шанс.

Але щоб не говорив нам наш мозок, не існує ні таємничої сили, здатної забезпечити нам «смугу везіння», ні вселенської справедливості, яка подбала б про те, щоб невдаха нарешті почав вигравати. Всесвіту абсолютно байдуже, програєте ви чи виграєте; для неї все кидки кісток однакові.

Скільки б зусиль ви не витрачали на спостереження за тим, як в черговий раз лягли кістки, і як би пильно не вдивлялися в гравців, які вважають, що їм вдалося осідлати удачу, ви не отримаєте абсолютно ніякої інформації щодо наступного кидка. Результат кожного кидка абсолютно не залежить від історії попередніх кидків. Отже, будь-який розрахунок на те, що можна отримати перевагу, спостерігаючи за грою, приречений на провал. Подібні події - які залежать ні від чого і повністю випадкові - не піддаються жодним спробам знайти закономірності, тому що цих закономірностей просто не існує.

Випадковість ставить бар'єр на шляху людського хитромудрості, оскільки демонструє, що вся наша логіка, вся наша наука і здатність до міркування не можуть в повній мірі передбачити поведінку світобудови. Які б методи ви ні використовували, яку б теорію не винаходили, яку б логіку не застосовували, щоб передбачити результати кидка кісток, ви в п'яти з шести випадків будете програвати. Завжди.

Комплекс випадкових подій передбачуваний, навіть якщо окремі події - немає

Випадковість лякає, вона обмежує надійність навіть найвитонченіших теорій і приховує від нас ті чи інші елементи природи, як би наполегливо ми не намагалися проникнути в їх суть. Проте не можна стверджувати, що випадкове - синонім непізнаваного. Це зовсім не так.

Випадковість підпорядковується власними правилами, і ці правила роблять випадковий процес доступним для розуміння і прогнозування.

Закон великих чисел говорить, що хоча поодинокі випадкові події повністю непередбачувані, досить велика вибірка цих подій може бути вельми передбачуваною - і чим більше вибірка, тим точніше прогноз. Інший потужний математичний інструмент - центральні граничні теореми - також показує, що сума досить великої кількості випадкових величин матиме розподіл, близьке до нормального. За допомогою цих інструментів ми можемо досить точно прогнозувати події в довгостроковій перспективі, незалежно від того, наскільки хаотичними, дивними і випадковими вони будуть в короткостроковому плані.

Правила випадковості настільки потужні, що лягли в основу найбільш непорушних і незмінних законів фізики. Хоча атоми в ємності з газом рухаються хаотично, їх загальна поведінка описується простим набором рівнянь. Навіть закони термодинаміки виходять з передбачуваності великої кількості випадкових подій; ці закони непохитні саме через те, що випадковість настільки абсолютна.

Парадоксально, що саме непередбачуваність випадкових подій дає нам можливість робити найнадійніші наші передбачення.