Скалярне твір векторів

Продовжуємо розбиратися із векторами. На першому уроці Вектори для чайниківми розглянули поняття вектора, дії з векторами, координати вектора та найпростіші завдання із векторами. Якщо ви зайшли на цю сторінку вперше з пошуковика, наполегливо рекомендую прочитати вищевведену вступну статтю, оскільки для засвоєння матеріалу необхідно орієнтуватися в термінах, позначеннях, що використовуються мною, володіти базовими знаннями про вектори і вміти вирішувати елементарні завдання. Цей урок є логічним продовженням теми, і на ньому я докладно розберу типові завдання, в яких використовується скалярне твір векторів. Це дуже важливе заняття. Намагайтеся не пропускати приклади, до них додається корисний бонус – практика допоможе вам закріпити пройдений матеріал і «набити руку» на вирішенні найпоширеніших завдань аналітичної геометрії.

Додавання векторів, множення вектора на число…. Було б наївним думати, що математики не вигадали щось ще. Крім вже розглянутих дій, існує низка інших операцій із векторами, а саме: скалярний добуток векторів, векторний добуток векторіві змішаний твір векторів. Скалярний твір векторів знайомий нам зі школи, два інших твори традиційно відносяться до курсу вищої математики. Теми нескладні, алгоритм вирішення багатьох завдань є трафаретним і зрозумілим. Єдине. Інформації пристойно, тому небажано намагатися освоїти-вирішувати ВСЕ І ВІДРАЗУ. Особливо це стосується чайників, повірте, автор зовсім не хоче відчувати себе Чікатіло від математики. Ну і не від математики, звичайно, теж =) Більше підготовлені студенти можуть використовувати матеріали вибірково, у відомому сенсі, «добирати» знання, які вам бракують, для вас я буду невинним графом Дракулою =)

Прочинимо ж, нарешті, двері і захоплено подивимося, що відбувається, коли два вектори зустрічають один одного.

Визначення скалярного добутку векторів.
Властивості скалярного твору. Типові завдання

Поняття скалярного твору

Спочатку про кут між векторами. Думаю, всім інтуїтивно зрозуміло, що таке кут між векторами, але про всяк випадок дещо докладніше. Розглянемо вільні ненульові вектори та . Якщо відкласти дані вектори від довільної точки, то вийде картинка, яку багато хто вже представив подумки:

Зізнаюся, тут я описав ситуацію лише на рівні розуміння. Якщо необхідно суворе визначення кута між векторами, будь ласка, зверніться до підручника, для практичних завдань воно нам, в принципі, ні до чого. Також ТУТ І ДАЛІ я місцями ігноруватиму нульові вектори через їхню малу практичну значущість. Застереження зробив спеціально для просунутих відвідувачів сайту, які можуть мені дорікнути в теоретичній неповноті деяких наступних тверджень.

може набувати значення від 0 до 180 градусів (від 0 до радіан) включно. Аналітично цей факт записується у вигляді подвійної нерівності: або (В радіанах).

У літературі значок кута часто пропускають і пишуть просто.

Визначення:Скалярним твором двох векторів і називається ЧИСЛО, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Ось це вже цілком суворе визначення.

Акцентуємо увагу на суттєвій інформації:

Позначення:скалярний твір позначається через або просто.

Результат операції є ЧИСЛОМ: Помножується вектор на вектор, а виходить число Справді, якщо довжини векторів – це числа, косинус кута – число, то їхній твір теж буде числом.

Відразу пара прикладів розминки:

Приклад 1

Рішення:Використовуємо формулу . В даному випадку:

Відповідь:

Значення косинуса можна знайти в тригонометричної таблиці. Рекомендую її роздрукувати - знадобиться практично у всіх розділах вежі і знадобиться багато разів.

Чисто з математичного погляду скалярне твір безрозмірно, тобто результат, у разі , просто число і все. З погляду завдань фізики скалярний твір завжди має певний фізичний сенс, тобто після результату потрібно вказати ту чи іншу фізичну одиницю. Канонічний приклад з обчислення роботи сили можна знайти в будь-якому підручнику (формула в точності є скалярним твіром). Робота сили вимірюється в Джоулях, тому і відповідь запишеться цілком конкретно, наприклад, .

Приклад 2

Знайти , якщо , а кут між векторами дорівнює.

Це приклад самостійного рішення, відповідь наприкінці уроку.

Кут між векторами та значення скалярного твору

У Прикладі 1 скалярне твір вийшло позитивним, а Прикладі 2 – негативним. З'ясуємо, чого залежить знак скалярного твору. Дивимося на формулу: . Довжини ненульових векторів завжди позитивні: тому знак може залежати тільки від значення косинуса.

Примітка: Для якіснішого розуміння нижченаведеної інформації краще вивчити графік косинуса в методичці Графіки та властивості функції. Подивіться, як поводиться косинус на відрізку.

Як уже зазначалося, кут між векторами може змінюватись у межах , і при цьому можливі такі випадки:

1) Якщо кутміж векторами гострий: (від 0 до 90 градусів), то , і скалярний твір буде позитивним співспрямовані, то кут між ними вважається нульовим, і скалярне твір також буде позитивним. Оскільки , формула спрощується: .

2) Якщо кутміж векторами тупий: (від 90 до 180 градусів), то , і відповідно, скалярний твір негативно: . Особливий випадок: якщо вектори спрямовані протилежно, то кут між ними вважається розгорнутим: (180 градусів). Скалярний твір теж негативний, оскільки

Справедливі та зворотні твердження:

1) Якщо , то кут між цими векторами гострий. Як варіант, вектори направлені.

2) Якщо , то кут між даними векторами тупий. Як варіант, вектори спрямовані протилежно.

Але особливий інтерес становить третій випадок:

3) Якщо кутміж векторами прямий: (90 градусів), то й скалярний добуток дорівнює нулю: . Назад теж вірно: якщо , то . Компактне твердження формулюється так: Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дані вектори ортогональні. Короткий математичний запис:

! Примітка : повторимо основи математичної логіки: двосторонній значок логічного слідства зазвичай читають «тоді й тільки тоді», «у тому й лише в тому випадку» Як бачите, стрілки направлені в обидві сторони – «з цього випливає це, і назад – з того, випливає це». У чому, до речі, на відміну від одностороннього значка слідування? Значок стверджує, тільки те, Що «з цього випливає це», і не факт, що протилежне справедливе. Наприклад: , але не кожен звір є пантерою, тому в цьому випадку не можна використовувати . Водночас замість значка можна, можливовикористовувати односторонній значок. Наприклад, вирішуючи завдання, ми з'ясували, що й зробили висновок, що вектори ортогональні: – такий запис буде коректним, і навіть доречнішим, ніж .

Третій випадок має велику практичну значимістьоскільки дозволяє перевірити, ортогональні вектори чи ні. Це завдання ми вирішимо у другому розділі уроку.

Властивості скалярного твору

Повернемося до ситуації, коли два вектори співспрямовані. У цьому випадку кут між ними дорівнює нулю, , і формула скалярного твору набуває вигляду: .

А що буде, якщо вектор помножити на себе? Зрозуміло, що вектор сонаправлен сам із собою, тому користуємося вищезгаданою спрощеною формулою:

Число називається скалярним квадратомвектора і позначаються як .

Таким чином, скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату довжини даного вектора:

З цієї рівності можна отримати формулу для обчислення довжини вектора:

Поки що вона здається малозрозумілою, але завдання уроку все розставлять на свої місця. Для вирішення завдань нам також знадобляться властивості скалярного твору.

Для довільних векторів та будь-якого числа справедливі такі властивості:

1) - переміщувальний або комутативнийзакон скалярного твору

2) - розподільний або дистрибутивнийзакон скалярного твору Просто можна розкривати дужки.

3) - Сполучний або асоціативнийзакон скалярного твору Константу можна винести із скалярного твору.

Найчастіше, всілякі властивості (які ще й доводити треба!) сприймаються студентами як непотрібний мотлох, який лише необхідно визубрити і відразу після іспиту благополучно забути. Здавалося б, чого тут важливого, всі й так з першого класу знають, що з перестановки множників твір змінюється: . Повинен застерегти, що у вищій математиці з подібним підходом легко наламати дров. Так, наприклад, переміщувальна властивість не є справедливою для алгебраїчних матриць. Неправильно воно і для векторного твору векторів. Тому, будь-які властивості, які вам зустрінуться в курсі вищої математики, як мінімум, краще вникати, щоб зрозуміти, що можна робити, а чого не можна.

Приклад 3

.

Рішення:Спочатку прояснимо ситуацію з вектором. Що це таке? Сума векторів і є цілком певним вектором, який і позначений через . Геометричну інтерпретацію дій із векторами можна знайти у статті Вектори для чайників. Та ж петрушка з вектором – це сума векторів та .

Отже, за умовою потрібно знайти скалярний твір. За ідеєю, потрібно застосувати робочу формулу Але біда в тому, що нам невідомі довжини векторів і кут між ними. Зате за умови дано аналогічні параметри для векторів, тому ми підемо іншим шляхом:

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів, вульгарну скоромовку можна знайти у статті Комплексні числаабо Інтегрування дробово-раціональної функції. Повторюватися вже не буду До речі, розкрити дужки нам дозволяє дистрибутивна властивість скалярного твору. Маємо право.

(3) У першому та останньому доданку компактно записуємо скалярні квадрати векторів: . У другому доданку використовуємо перестановочність скалярного произведения: .

(4) Наводимо такі доданки: .

(5) У першому доданку використовуємо формулу скалярного квадрата , яку недавно згадувалося. В останньому доданку, відповідно, працює та сама штука: . Другий доданок розкладаємо за стандартною формулою .

(6) Підставляємо ці умови , та УВАЖНО проводимо остаточні обчислення.

Відповідь:

Негативне значення скалярного твору констатує той факт, що кут між векторами тупий.

Завдання типове, ось приклад для самостійного вирішення:

Приклад 4

Знайти скалярний твір векторів і, якщо відомо, що .

Тепер ще одне поширене завдання якраз на нову формулу довжини вектора . Позначення тут трохи співпадатимуть, тому для ясності я перепишу її з іншою літерою:

Приклад 5

Знайти довжину вектора , якщо .

Рішеннябуде наступним:

(1) Поставляємо вираз вектора.

(2) Використовуємо формулу довжини: , при цьому як вектор «ве» у нас виступає ціле вираження .

(3) Використовуємо шкільну формулу квадрата суми. Зверніть увагу, як вона тут цікаво працює: - Це квадрат різниці, і, по суті, так воно і є. Бажаючі можуть переставити вектори місцями: - вийшло те саме з точністю до перестановки доданків.

(4) Подальше вже знайоме із двох попередніх завдань.

Відповідь:

Якщо йдеться про довжину, не забуваємо вказати розмірність - «одиниці».

Приклад 6

Знайти довжину вектора , якщо .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Продовжуємо вичавлювати корисні речі із скалярного твору. Знову подивимося на нашу формулу . За правилом пропорції скинемо довжини векторів у знаменник лівої частини:

А частини поміняємо місцями:

У чому сенс цієї формули? Якщо відомі довжини двох векторів та його скалярне твір, можна обчислити косинус кута між даними векторами, отже, і сам кут.

Скалярне твір – це число? Число. Довжини векторів – числа? Числа. Отже, дріб також є деяким числом . А якщо відомий косинус кута: , За допомогою зворотної функції легко знайти і сам кут: .

Приклад 7

Знайти кут між векторами і якщо відомо, що .

Рішення:Використовуємо формулу:

На заключному етапі обчислень використано технічний прийом – усунення ірраціональності у знаменнику. З метою усунення ірраціональності я примножив чисельник і знаменник на .

Отже, якщо , то:

Значення зворотних тригонометричних функцій можна знайти за тригонометричної таблиці. Хоча це трапляється рідко. У завданнях аналітичної геометрії значно частіше з'являється якийсь неповороткий ведмідь на кшталт , і значення кута доводиться знаходити приблизно, використовуючи калькулятор. Власне, таку картину ми ще неодноразово побачимо.

Відповідь:

Знову, не забуваймо вказувати розмірність – радіани та градуси. Особисто я, щоб свідомо «зняти всі питання», волію вказувати і те, і те (якщо за умовою, звичайно, не потрібно уявити відповідь тільки в радіанах або лише в градусах).

Тепер ви зможете самостійно впоратися із складнішим завданням:

Приклад 7*

Дані - довжини векторів, і кут між ними. Знайти кут між векторами .

Завдання навіть не так складне, як багатоходове.
Розберемо алгоритм розв'язання:

1) За умовою потрібно знайти кут між векторами і тому потрібно використовувати формулу .

2) Знаходимо скалярне твір (див. приклади № 3, 4).

3) Знаходимо довжину вектора та довжину вектора (див. Приклади № 5, 6).

4) Кінцівка рішення збігається з Прикладом № 7 – нам відоме число , отже, легко знайти і сам кут:

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Другий розділ уроку присвячений тому ж скалярному твору. Координати. Буде навіть простіше, ніж у першій частині.

Скалярний добуток векторів,
заданих координатами в ортонормованому базисі

Відповідь:

Що й казати, мати справу з координатами значно приємніше.

Приклад 14

Знайти скалярний твір векторів і , якщо

Це приклад самостійного рішення. Тут можна використовувати асоціативність операції, тобто не брати до уваги, а відразу винести трійку за межі скалярного твору і примножити на неї в останню чергу. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

На закінчення параграфа провокаційний приклад на обчислення довжини вектора:

Приклад 15

Знайти довжини векторів , якщо

Рішення:знову напрошується спосіб попереднього розділу: але існує й інша дорога:

Знайдемо вектор:

І його довжину за тривіальною формулою :

Скалярний твір тут взагалі не при справах!

Як не при справах воно і при обчисленні довжини вектора:
Стоп. А чи не скористатися очевидною властивістю довжини вектора? Що можна сказати про довжину вектора? Цей вектор довший за вектор у 5 разів. Напрямок протилежний, але це не відіграє ролі, адже розмова про довжину. Очевидно, що довжина вектора дорівнює добутку модулячисла на довжину вектора:
- Знак модуля "з'їдає" можливий мінус числа.

Таким чином:

Відповідь:

Формула косинуса кута між векторами, заданими координатами

Тепер у нас є повна інформація, щоб раніше виведену формулу косинуса кута між векторами виразити через координати векторів:

Косинус кута між векторами площини.та , заданими в ортонормованому базисі , виражається формулою:
.

Косинус кута між векторами простору, заданими в ортонормованому базисі , виражається формулою:

Приклад 16

Дано три вершини трикутника. Знайти (кут при вершині).

Рішення:За умовою креслення виконувати не потрібно, але все-таки:

Потрібний кут позначений зеленою дугою. Відразу згадуємо шкільне позначення кута: – особлива увага на середнюлітеру - це і є потрібна нам вершина кута. Для стислості можна було також записати просто.

З креслення цілком очевидно, що кут трикутника збігається з кутом між векторами та іншими словами: .

Проведений аналіз бажано навчитися виконувати подумки.

Знайдемо вектори:

Обчислимо скалярний твір:

І довжини векторів:

Косинус кута:

Саме такий порядок виконання завдання рекомендую чайникам. Більш підготовлені читачі можуть записувати обчислення «одним рядком»:

Ось і приклад поганого значення косинуса. Отримане значення не є остаточним, тому немає особливого сенсу позбавлятися ірраціональності в знаменнику.

Знайдемо сам кут:

Якщо подивитися на креслення, то результат цілком правдоподібний. Для перевірки кут можна виміряти і транспортиром. Не пошкодіть покриття монітора =)

Відповідь:

У відповіді не забуваємо, що питалося про кут трикутника(а не про кут між векторами), не забуваємо вказати точну відповідь: і наближене значення кута: , знайдений за допомогою калькулятора.

Ті, хто отримав задоволення від процесу, можуть обчислити кути, і переконатися у справедливості канонічної рівності

Приклад 17

У просторі заданий трикутник координатами своїх вершин. Знайти кут між сторонами та

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку

Невеликий заключний розділ буде присвячений проекціям, в яких теж замішано скалярний твір:

Вектор проекції на вектор. Вектор проекції на координатні осі.
Напрямні косинуси вектора

Розглянемо вектори та:

Спроектуємо вектор на вектор, для цього з початку та кінця вектора опустимо перпендикулярина вектор (зелені пунктирні лінії). Уявіть, що вектор перпендикулярно падають промені світла. Тоді відрізок (червона лінія) буде «тінь» вектора. В даному випадку проекцією вектора на вектор є ДОВжина відрізка. Тобто ПРОЕКЦІЯ – ЦЕ ЧИСЛО.

Дане ЧИСЛО позначається так: «великим вектором» позначають вектор КОТРИЙпроектують, «маленьким підрядковим вектором» позначають вектор НАякий проектують.

Сам запис читається так: "проекція вектора" на вектор "бе".

Що станеться, якщо вектор «бе» буде «надто коротким»? Проводимо пряму лінію, що містить вектор "бе". І вектор «а» проектуватиметься вже на напрямок вектора «бе», Просто - на пряму, що містить вектор «бе». Те саме відбудеться, якщо вектор «а» відкласти у тридесятому царстві – він все одно легко спроектується на пряму, що містить вектор «бе».

Якщо кутміж векторами гострий(як на малюнку), то

Якщо вектори ортогональні, то (проекцією є точка, розміри якої вважаються нульовими).

Якщо кутміж векторами тупий(на малюнку подумки переставте стрілочку вектора), то (та сама довжина, але взята зі знаком мінус).

Відкладемо дані вектори від однієї точки:

Очевидно, що при переміщенні вектора його проекція не змінюється

Векторний та скалярний твір дозволяє легко обчислювати кут між векторами. Нехай дано два вектори $\overline(a)$ і $\overline(b)$, орієнтований кут між якими дорівнює $\varphi$. Обчислимо значення $x = (\overline(a),\overline(b))$ і $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Тоді $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, де $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, а $\varphi$ - шуканий кут, тобто точка $(x, y)$ має полярний кут, рівний $\varphi$, і, отже, $\varphi$ може бути знайдено як atan2(y, x).

Площа трикутника

Оскільки векторний добуток містить у собі добуток двох довжин векторів на косинус кута між ними, то векторний добуток можна використовувати для обчислення площі трикутника ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Приналежність точки прямої

Нехай дана точка $P$ і пряма $AB$ (задана двома точками $A$ та $B$). Необхідно перевірити належність точки прямої $AB$.

Точка належить прямий $AB$ тоді й лише тоді, коли вектори $AP$ і $AB$ колінеарні, тобто якщо $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Належність точки променю

Нехай дана точка $P$ та промінь $AB$ (заданий двома точками - початком променя $A$ та точкою на промені $B$). Необхідно перевірити належність точки променю $AB$.

До умови приналежності точки $P$ прямої $AB$ необхідно додати додаткову умову - вектори $AP$ і $AB$ сонаправлены, тобто вони колінеарні та його скалярне твір неотрицательно, тобто $(\overline(AB), \overline(AP) )) \ ge 0 $.

Приналежність точки відрізку

Нехай дана точка $P$ та відрізок $AB$. Необхідно перевірити належність точки відрізку $AB$.

У цьому випадку точка повинна належати і променю $AB$, і променю $BA$, тому необхідно перевірити такі умови:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Відстань від точки до прямої

Нехай дана точка $P$ і пряма $AB$ (задана двома точками $A$ та $B$). Необхідно знайти відстань від точки прямої $AB$.

Розглянемо трикутник ABP. З одного боку, його площа дорівнює $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

З іншого боку, його площа дорівнює $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, де $h$ - висота, опущена з точки $P$, тобто відстань від $P$ до $ AB$. Звідки $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Відстань від точки до променя

Нехай дана точка $P$ та промінь $AB$ (заданий двома точками - початком променя $A$ та точкою на промені $B$). Необхідно знайти відстань від точки до променя, тобто довжину найкоротшого відрізка від точки $P$ до будь-якої точки променя.

Ця відстань дорівнює або довжині $AP$, або відстані від точки $P$ до прямої $AB$. Який із випадків має бути легко визначити за взаємним розташуванням променя і точки. Якщо кут PAB гострий, тобто $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, відповіддю буде відстань від точки $P$ до прямої $AB$, інакше відповіддю буде довжина відрізка $AB$.

Відстань від точки до відрізка

Нехай дана точка $P$ та відрізок $AB$. Необхідно знайти відстань від $P$ до відрізка $AB$.

Якщо основа перпендикуляра, опущеного з $P$ на пряму $AB$, потрапить на відрізок $AB$, що можна перевірити за умовами

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

то відповіддю буде відстань від точки $P$ до прямої $AB$. Інакше відстань дорівнює $\min(AP, BP)$.

Визначення 1

Скалярний добуток векторів називають число, що дорівнює добутку дин цих векторів на косинус кута між ними.

Позначення добутку векторів a → та b → має вигляд a → , b → . Перетворимо на формулу:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → та b → позначають довжини векторів, a → , b → ^ - позначення кута між заданими векторами. Якщо хоч один вектор нульовий, тобто має значення 0, то результат буде дорівнювати нулю, a → , b → = 0

При множенні вектора самого на себе отримаємо квадрат його діни:

a → , b → = a → · b → · cos a → , a → ^ = a → 2 · cos 0 = a → 2

Визначення 2

Скалярне множення вектора себе називають скалярним квадратом.

Обчислюється за такою формулою:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Запис a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → показує, що npb → a → це числова проекція a → на b → , npa → a → - проекція b → на a → відповідно.

Сформулюємо визначення твору для двох векторів:

Скалярний добуток двох векторів a → на b → називають добуток довжини вектора a → на проекцію b → на напрямок a → або добуток довжини b → на проекцію a → відповідно.

Скалярний твір у координатах

Обчислення скалярного твору можна проводити через координати векторів у заданій площині або просторі.

Скаларний добуток двох векторів на площині, у тривимірному просторі називають суму координат заданих векторів a → та b → .

При обчисленні на площині скалярного добутку заданих векторів a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) у декартовій системі використовують:

a → , b → = a x · b x + a y · b y ,

для тривимірного простору застосовується вираз:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z.

Фактично це третє визначення скалярного твору.

Доведемо це.

Доказ 1

Для доказу використовуємо a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax · bx + ay · by для векторів a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) на декартової системи.

Слід відкласти вектори

O A → = a → = a x , a y O B → = b → = b x , b y .

Тоді довжина вектора A B → дорівнює A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) .

Розглянемо трикутник OAB.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) чітко, виходячи з теореми косінусів.

За умовою видно, що O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ означає формулу знаходження кута між векторами запишемо інакше

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^).

Тоді з першого визначення випливає, що b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , отже (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Застосувавши формулу обчислення довжини векторів, отримаємо:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + by 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 · (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax · bx + ay · by

Доведемо рівності:

(a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) = = a x · b x + a y · b y + a z · b z

– відповідно до векторів тривимірного простору.

Скалярний добуток векторів з координатами говорить про те, що скалярний квадрат вектора дорівнює сумі квадратів його координат у просторі та на площині відповідно. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) та (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Скалярний твір та його властивості

Існують властивості скалярного твору, які застосовуються для a → , b → і c → :

1. комутативність (a → , b →) = (b → , a →);
2. дистрибутивність (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
3. сполучна властивість (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →) , (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →) , λ - будь-яке число;
4. скалярний квадрат завжди більший за нуль (a → , a →) ≥ 0 , де (a → , a →) = 0 у тому випадку, коли a → нульовий.

Приклад 1

Властивості можна пояснити завдяки визначенню скалярного твору на площині та властивостям при додаванні та множенні дійсних чисел.

Довести властивість комутативності (a → , b →) = (b → , a →). З визначення маємо, що (a → , b →) = a y · b y + a y · b y (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

За властивістю комутативності рівності a x · b x = b x · a x і a y · b y = b y · a y вірні, значить a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Звідси випливає, що (a → , b →) = (b → , a →) . Що й потрібно було довести.

Дистрибутивність справедлива для будь-яких чисел:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

і (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

звідси маємо

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Скалярний твір з прикладами та рішеннями

Будь-яке завдання такого плану вирішується із застосуванням властивостей та формул, що стосуються скалярного твору:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^);
2. (a → , b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y або (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Розглянемо деякі приклади рішення.

Приклад 2

Довжина a → дорівнює 3, довжина b → дорівнює 7. Знайти скалярне твір, якщо кут має 60 градусів.

Рішення

За умовою маємо всі дані, тому обчислюємо за такою формулою:

(a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) = 3 · 7 · cos 60 ° = 3 · 7 · 1 2 = 21 2

Відповідь: (a → , b →) = 21 2 .

Приклад 3

Задані вектори a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Чому одно скалярний твір.

Рішення

У цьому прикладі розглядається формула обчислення за координатами, оскільки вони задані за умови завдання:

(a → , b →) = ax · bx + ay · by + az · bz = = 1 · 0 + (-1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Відповідь: (a → , b →) = - 9

Приклад 4

Знайти скалярний твір A B → та A C → . На координатній площині задані точки A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1).

Рішення

Для початку обчислюються координати векторів, тому що за умовою дано координати точок:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Підставивши у формулу з використанням координат, отримаємо:

(AB → , A C →) = 4 · 0 + 7 · 4 = 0 + 28 = 28 .

Відповідь: (AB → , AC →) = 28 .

Приклад 5

Задані вектори a → = 7 · m → + 3 · n → та b → = 5 · m → + 8 · n → , знайти їхній твір. m → дорівнює 3 і n → дорівнює 2 одиниці, вони перпендикулярні.

Рішення

(a → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . Застосувавши властивість дистрибутивності, отримаємо:

(7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) = = (7 · m → , 5 · m →) + (7 · m → , 8 · n →) + (3 · n → , 5 · m →) + (3 · n → , 8 · n →)

Виносимо коефіцієнт за знак твору та отримаємо:

(7 · m → , 5 · m →) + (7 · m → , 8 · n →) + (3 · n → , 5 · m →) + (3 · n → , 8 · n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

За якістю комутативності перетворимо:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → n →) + 15 · (n → m →) + 24 · (n → n →) = = 35 · (m → m →) + 56 · (m → n →) + 15 · (m → n →) + 24 · (n → n →) = = 35 · (m → m →) + 71 · (m → n →) ) + 24 · (n → , n →)

У результаті отримаємо:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → n →) + 24 · (n → n →) .

Тепер застосуємо формулу для скалярного твору із заданим за умовою кутом:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Відповідь: (a → , b →) = 411

Якщо є числова проекція.

Приклад 6

Знайти скалярний твір a → та b → . Вектор a → має координати a → = (9 , 3, - 3), проекція b → з координатами (-3, - 1, 1).

Рішення

За умовою вектори a → та проекція b → протилежно спрямовані, тому що a → = - 1 3 · n p a → b → → , отже, проекція b → відповідає довжині n p a → b → → , причому зі знаком «-»:

n a → b → → = - n a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

Підставивши у формулу, отримаємо вираз:

(a → , b →) = a → n a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Відповідь: (a → , b →) = – 33 .

Завдання при відомому скалярному добутку, де необхідно знайти довжину вектора чи числову проекцію.

Приклад 7

Яке значення має прийняти при заданому скалярному творі a → = (1 , 0 , λ + 1) і b → = (λ , 1 , λ) буде рівним -1.

Рішення

З формули видно, що необхідно знайти суму творів координат:

(a → , b →) = 1 · λ + 0 · 1 + (λ + 1) · λ = λ 2 + 2 · λ.

У даному маємо (a → , b →) = - 1 .

Щоб знайти λ , обчислюємо рівняння:

λ 2 + 2 · λ = -1, звідси λ = -1.

Відповідь: λ = -1.

Фізичний сенс скалярного твору

Механіка розглядає програму скалярного твору.

При роботі А з постійною силою F → тіло, що переміщується з точки M в N, можна знайти добуток довжин векторів F → і M N → з косинусом кута між ними, значить робота дорівнює добутку векторів сили і переміщення:

A = (F → , M N →).

Приклад 8

Переміщення матеріальної точки на 3 метри під дією сили, що дорівнює 5 ньтонів, спрямоване під кутом 45 градусів щодо осі. Знайти A .

Рішення

Оскільки робота – це добуток вектора сили на переміщення, отже, виходячи з умови F → ​​= 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , отримаємо A = (F → , S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Відповідь: A = 15 2 2 .

Приклад 9

Матеріальна точка, переміщаючись з M (2 , - 1 , - 3) до N (5 , 3 λ - 2 , 4) під силою F → = (3 , 1 , 2) , зробила робота рівну 13 Дж. Обчислити довжину переміщення.

Рішення

При заданих координатах вектора M N → маємо M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

За формулою знаходження роботи з векторами F → ​​= (3 , 1 , 2) і MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) отримаємо A = (F ⇒ , MN →) = 3 · 3 + 1 · (3 λ - 1) + 2 · 7 = 22 + 3 λ.

За умовою дано, що A = 13 Д ж, отже, 22 + 3 λ = 13 . Звідси випливає λ = - 3 , отже і M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Щоб знайти довжину переміщення M N → , застосуємо формулу та підставимо значення:

M N = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Відповідь: 158 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Будуть і завдання для самостійного вирішення, до яких можна переглянути відповіді.

Якщо в задачі і довжини векторів, і кут між ними подано "на блюдечку з блакитною облямівкою", то умова задачі та її вирішення виглядають так:

приклад 1.Дані вектори. Знайти скалярний добуток векторів, якщо їх довжини та кут між ними представлені такими значеннями:

Справедливе та інше визначення, повністю рівносильне визначенню 1.

Визначення 2. Скалярним твором векторів називається число (скаляр), рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, що визначається першим із зазначених векторів. Формула згідно з визначенням 2:

Завдання із застосуванням цієї формули вирішимо після наступного важливого теоретичного пункту.

Визначення скалярного твору векторів через координати

Те саме число можна отримати, якщо вектори, що перемножуються, задані своїми координатами.

Визначення 3.Скалярне твір векторів - це число, що дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат.

На площині

Якщо два вектори та на площині визначені своїми двома декартовими прямокутними координатами

то скалярний добуток цих векторів дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат:

.

приклад 2.Знайти чисельну величину проекції вектора на вісь, паралельну вектору.

Рішення. Знаходимо скалярне твір векторів, складаючи попарні твори їх координат:

Тепер нам потрібно прирівняти отриманий скалярний добуток до довжини вектора на проекцію вектора на вісь, паралельну вектору (відповідно до формули ).

Знаходимо довжину вектора як квадратний корінь із суми квадратів його координат:

.

Складаємо рівняння та вирішуємо його:

Відповідь. Чисельна величина, що шукається, дорівнює мінус 8.

В просторі

Якщо два вектори та у просторі визначені своїми трьома декартовими прямокутними координатами

,

то скалярний добуток цих векторів також дорівнює сумі попарних творів їх відповідних координат, лише координат вже три:

.

Завдання перебування скалярного твору розглянутим способом - після розбору властивостей скалярного твору. Тому що в задачі потрібно визначити, який кут утворюють вектори, що перемножуються.

Властивості скалярного твору векторів

Алгебраїчні властивості

1. (переміщувальна властивість: від зміни місцями векторів, що перемножуються, величина їх скалярного твору не змінюється).

2. (сполучна щодо числового множника властивість: скалярний добуток вектора, помноженого на деякий множник, та іншого вектора, дорівнює скалярному добутку цих векторів, помноженому на той самий множник).

3. (розподільна щодо суми векторів властивість: скалярний добуток суми двох векторів на третій вектор і сумі скалярних творів першого вектора на третій вектор і другого вектора на третій вектор).

4. (скалярний квадрат вектор більше нуля), якщо - ненульовий вектор, і якщо - нульовий вектор.

Геометричні властивості

У визначеннях досліджуваної операції ми вже стосувалися поняття кута між двома векторами. Настав час уточнити це поняття.

На малюнку вище видно два вектори, які наведені до загального початку. І перше, на що треба звернути увагу: між цими векторами існують два кути. φ 1 і φ 2 . Який із цих кутів фігурує у визначеннях та властивостях скалярного твору векторів? Сума розглянутих кутів дорівнює 2 π і тому косинуси цих кутів рівні. У визначення скалярного твору входить лише косинус кута, а чи не значення його висловлювання. Але у властивостях розглядається лише один кут. І це той із двох кутів, який не перевищує π , тобто 180 градусів. На малюнку цей кут позначений як φ 1 .

1. Два вектори називають ортогональними і кут між цими векторами - прямий (90 градусів або π /2), якщо скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю :

.

Ортогональністю у векторній алгебрі називається перпендикулярність двох векторів.

2. Два ненульові вектори складають гострий кут (від 0 до 90 градусів, або, що теж саме – менше π скалярний твір позитивно .

3. Два ненульові вектори складають тупий кут (від 90 до 180 градусів, або, що те саме - більше π /2 ) тоді і тільки тоді, коли їх скалярний твір негативно .

Приклад 3.В координатах дано вектори:

.

Обчислити скалярні добутки всіх пар даних векторів. Який кут (гострий, прямий, тупий) утворюють ці пари векторів?

Рішення. Обчислюватимемо шляхом складання творів відповідних координат.

Отримали негативне число, тому вектори утворюють тупий кут.

Отримали позитивне число, тому вектори утворюють гострий кут.

Отримали нуль, тому вектори утворюють прямий кут.

Отримали позитивне число, тому вектори утворюють гострий кут.

.

Отримали позитивне число, тому вектори утворюють гострий кут.

Для самоперевірки можна використовувати онлайн калькулятор Скалярний добуток векторів та косинус кута між ними .

Приклад 4.Дані довжини двох векторів та кут між ними:

.

Визначити, при якому значенні числа вектори та ортогональні (перпендикулярні).

Рішення. Перемножимо вектори за правилом множення багаточленів:

Тепер обчислимо кожне доданок:

.

Складемо рівняння (рівність твору нулю), наведемо подібні члени і розв'яжемо рівняння:

Відповідь: ми отримали значення λ = 1,8 , у якому вектори ортогональні.

Приклад 5.Довести, що вектор ортогональний (перпендикулярний) вектору

Рішення. Щоб перевірити ортогональність, перемножимо вектори і як багаточлени, підставляючи замість його вираз, дане за умови завдання:

.

Для цього потрібно кожен член (доданок) першого многочлена помножити на кожен член другого та отримані твори скласти:

.

В отриманому результаті дріб рахунок скорочується. Виходить наступний результат:

Висновок: в результаті множення набули нуль, отже, ортогональність (перпендикулярність) векторів доведена.

Вирішити завдання самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 6.Дані довжини векторів і , a кут між цими векторами дорівнює π /4. Визначити, за якого значення μ вектори та взаємно перпендикулярні.

Для самоперевірки можна використовувати онлайн калькулятор Скалярний добуток векторів та косинус кута між ними .

Матричне уявлення скалярного твору векторів та твір n-мірних векторів

Іноді виграшним для наочності є уявлення двох векторів, що перемножуються, у вигляді матриць. Тоді перший вектор представлений у вигляді матриці-рядка, а другий - у вигляді матриці-стовпця:

Тоді скалярний добуток векторів буде твором цих матриць :

Результат той самий, як і отриманий способом, який ми вже розглянули. Отримали одне однину, і добуток матриці-рядки на матрицю-стовпець також є одним однинним числом.

У матричній формі зручно представляти добуток абстрактних n-мірних векторів. Так, добуток двох чотиривимірних векторів буде добутком матриці-рядка з чотирма елементами на матрицю-стовпець також з чотирма елементами, добуток двох п'ятивимірних векторів - добутком матриці-рядка з п'ятьма елементами на матрицю-стовпець також з п'ятьма елементами і так далі.

Приклад 7.Знайти скалярні твори пар векторів

,

використовуючи матричну виставу.

Рішення. Перша пара векторів. Представляємо перший вектор у вигляді матриці-рядка, а другий - у вигляді матриці-стовпця. Знаходимо скалярний добуток цих векторів як добуток матриці-рядки на матрицю-стовпець:

Аналогічно представляємо другу пару та знаходимо:

Як бачимо, результати вийшли ті ж, що й у тих самих пар з прикладу 2.

Кут між двома векторами

Виведення формули косинуса кута між двома векторами дуже гарне і коротке.

Щоб висловити скалярний твір векторів

(1)

у координатній формі, попередньо знайдемо скалярні добутки ортів. Скалярне твір вектора на себе за визначенням:

Те, що записано у формулі вище, означає: скалярний добуток вектора на самого себе дорівнює квадрату його довжини. Косинус нуля дорівнює одиниці, тому квадрат кожного орта дорівнює одиниці:

Оскільки вектори

попарно перпендикулярні, то попарні твори ортів дорівнюватимуть нулю:

Тепер виконаємо множення векторних багаточленів:

Підставляємо у праву частину рівності значення відповідних скалярних творів ортів:

Отримуємо формулу косинуса кута між двома векторами:

Приклад 8.Дано три точки A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Знайти кут.

Рішення. Знаходимо координати векторів:

,

.

За формулою косинуса кута отримуємо:

Отже, .

Для самоперевірки можна використовувати онлайн калькулятор Скалярний добуток векторів та косинус кута між ними .

Приклад 9.Дано два вектори

Знайти суму, різницю, довжину, скалярний твір та кут між ними.

2. Різниця

Лекція: Координати вектора; скалярний добуток векторів; кут між векторами

Координати вектора

Отже, як уже говорилося раніше, вектора - це спрямований відрізок, який має власний початок і кінець. Якщо початок і кінець представлені деякими точками, значить на площині чи просторі вони мають свої координати.

Якщо ж у кожної точки є свої координати, ми можемо отримати і координати цілого вектора.

Допустимо, ми маємо деякий вектор, у якого початок і кінець вектора мають такі позначення та координати: A(A x ; Ay) та B(B x ; By)

Щоб отримати координати даного вектора, необхідно від координат кінця вектора відняти відповідні координати початку:

Для визначення координати вектора у просторі слід скористатися такою формулою:

Скалярне твір векторів

Існує два способи визначення поняття скалярного твору:

• Геометричний метод. Відповідно до нього, скалярний добуток дорівнює добутку величин даних модулів на косинус кута між ними.

• Алгебраїчне значення. З погляду алгебри, скалярний твір двох векторів – це певна величина, яка у результаті суми творів відповідних векторів.

Якщо вектори задані у просторі, слід скористатися аналогічною формулою:

Властивості:

• Якщо помножити два однакові вектори скалярно, їх скалярне твір буде негативним:

• Якщо ж скалярний добуток двох однакових векторів вийшов рівним нулю, то ці вектори вважаються нульовими:

• Якщо деякий вектор помножити на себе, то скалярний твір вийде рівним квадрату його модуля:

• Скалярний твір має комунікативну властивість, тобто від перестановки векторів скалярний твір не зміниться:

• Скалярний добуток ненульових векторів може бути рівним нулю тільки в тому випадку, якщо вектори перпендикулярні один одному:

• Для скалярного твору векторів справедливий переміщувальний закон у разі множення одного з векторів на число:

• При скалярному творі також можна використовувати дистрибутивну властивість множення:

Кут між векторами