На цьому уроці ми розглянемо ще дві операції з векторами: векторний добуток векторіві змішаний твір векторів (відразу посилання, кому потрібне саме воно). Нічого страшного, так іноді буває, що для повного щастя, крім скалярного твору векторів, Потрібно ще і ще. Така ось векторна наркоманія. Може скластися враження, що ми залазимо в нетрі аналітичної геометрії. Це не так. У цьому розділі вищої математики взагалі мало дров, хіба що на Буратіно вистачить. Насправді матеріал дуже поширений і простий – навряд чи складніше, ніж те саме скалярний твір, навіть типових завдань буде менше. Головне в аналітичній геометрії, як багато хто переконається чи вже переконався, НЕ ПОМИЛИТИСЯ У ВИЧИСЛЕННЯХ. Повторюйте як заклинання, і буде вам щастя.

Якщо вектори виблискують десь далеко, як блискавки на горизонті, не біда, почніть з уроку Вектори для чайників, щоб відновити або знов придбати базові знання про вектори. Більш підготовлені читачі можуть ознайомлюватися з інформацією вибірково, я постарався зібрати максимально повну колекцію прикладів, які часто зустрічаються у практичних роботах

Чим вас одразу порадувати? Коли я був маленьким, то умів жонглювати двома і навіть трьома кульками. Спритно виходило. Зараз жонглювати не доведеться взагалі, оскільки ми розглядатимемо тільки просторові вектори, а плоскі вектори із двома координатами залишаться за бортом. Чому? Такими вже народилися дані дії – векторне та змішане твір векторів визначено та працюють у тривимірному просторі. Вже простіше!

У цій операції, так само, як і в скалярному творі, беруть участь два вектори. Нехай це будуть нетлінні літери.

Сама дія позначаєтьсянаступним чином: . Існують і інші варіанти, але я звик позначати векторний твір векторів саме так, у квадратних дужках із хрестиком.

І відразу питання: якщо в скалярному творі векторівберуть участь два вектори, і тут теж множаться два вектори, тоді в чому різниця? Явна різниця, перш за все, в РЕЗУЛЬТАТІ:

Результатом скалярного твору векторів є:

Результатом векторного твору векторів є ВЕКТОР: , тобто множимо вектори і знову отримуємо вектор. Закритий клуб. Власне, звідси й назва операції. У різній навчальній літературі позначення теж можуть змінюватись, я використовуватиму букву .

Визначення векторного твору

Спочатку буде визначення з картинкою, потім коментарі.

Визначення: Векторним твором неколлінеарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається ВЕКТОР , довжинаякого чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на даних векторах; вектор ортогональний векторам, і спрямований так, що базис має праву орієнтацію:

Розбираємо визначення по кісточках, тут багато цікавого!

Отже, можна назвати такі істотні моменти:

1) Вихідні вектори, позначені червоними стрілками, за визначенням не колінеарні. Випадок колінеарних векторів доречно буде розглянути трохи пізніше.

2) Вектори взяті у строго визначеному порядку: – "а" множиться на "бе", а чи не «бе» на «а». Результатом множення векторівє Вектор, який позначений синім кольором. Якщо вектори помножити у зворотному порядку, то отримаємо рівний за довжиною та протилежний у напрямку вектор (малиновий колір). Тобто справедливо рівність .

3) Тепер познайомимося із геометричним змістом векторного твору. Це надзвичайно важливий пункт! ДОВжина синього вектора (а, отже, і малинового вектора) чисельно дорівнює ПЛОЩІ паралелограма, побудованого на векторах. На малюнку цей паралелограм заштрихований чорним кольором.

Примітка : креслення є схематичним, і, природно, номінальна довжина векторного твору не дорівнює площі паралелограма.

Згадуємо одну з геометричних формул: площа паралелограма дорівнює добутку суміжних сторін на синус кута між ними. Тому, виходячи з вищесказаного, справедлива формула обчислення ДОВЖИНИ Векторного твору:

Підкреслюю, що у формулі йдеться про ДОВЖИНУ вектора, а не про сам вектор. Який практичний зміст? А сенс такий, що завдання аналітичної геометрії площа паралелограма часто знаходять через поняття векторного произведения:

Отримаємо другу важливу формулу. Діагональ паралелограма (червоний пунктир) ділить його на два рівні трикутники. Отже, площа трикутника, побудованого на векторах (червоне штрихування), можна знайти за формулою:

4) Не менш важливий факт полягає в тому, що вектор ортогональний векторам, тобто . Зрозуміло, протилежно спрямований вектор (малинова стрілка) теж ортогональний вихідним векторам.

5) Вектор спрямований так, що базисмає правуорієнтацію. На уроці про переході до нового базисуя досить докладно розповів про орієнтації площиниі зараз ми розберемося, що таке орієнтація простору. Пояснювати буду на ваших пальцях правої руки. Подумки поєднайте вказівний палецьз вектором і середній палецьз вектором. Безіменний палець та мізинецьпритисніть до долоні. В результаті великий палець- Векторний твір дивитися вгору. Це і є правоорієнтований базис (на малюнку саме він). Тепер поміняйте вектори ( вказівний та середній пальці) місцями, в результаті великий палець розгорнеться, і векторний твір уже дивитиметься вниз. Це також правоорієнтований базис. Можливо, у вас виникло питання: а який базис має ліву орієнтацію? "Привласніть" тим же пальцям лівої рукивектори , і отримайте лівий базис і ліву орієнтацію простору (у цьому випадку великий палець розташується у напрямку нижнього вектора). Образно кажучи, ці базиси «закручують» або орієнтують простір у різні боки. І це поняття не слід вважати чимось надуманим чи абстрактним – так, наприклад, орієнтацію простору змінює звичайнісіньке дзеркало, і якщо «витягнути відбитий об'єкт із дзеркалля», то його в загальному випадку не вдасться поєднати з «оригіналом». До речі, піднесіть до дзеркала три пальці та проаналізуйте відображення;-)

…як все-таки добре, що ви тепер знаєте про право- та лівоорієнтованихбазисах, бо страшні висловлювання деяких лекторів про зміну орієнтації =)

Векторний твір колінеарних векторів

Визначення докладно розібрано, залишилося з'ясувати, що відбувається, коли колінеарні вектори. Якщо вектори колінеарні, то їх можна розташувати на одній прямій і наш паралелограм теж складається в одну пряму. Площа такого, як кажуть математики, виродженогоПаралелограма дорівнює нулю. Це ж випливає і з формули - синус нуля або 180 градусів дорівнює нулю, а значить, і площа нульова

Таким чином, якщо , то і . Зверніть увагу, що сам вектор твір дорівнює нульовому вектору, але на практиці цим часто нехтують і пишуть, що він також дорівнює нулю.

Окремий випадок – векторний твір вектора на самого себе:

За допомогою векторного твору можна перевіряти колінеарність тривимірних векторів, і це завдання серед інших ми теж розберемо.

Для вирішення практичних прикладів може знадобитися тригонометрична таблиця, щоб шукати значення синусів.

Ну що ж, розпалюємо вогонь:

Приклад 1

а) Знайти довжину векторного твору векторів, якщо

б) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах , якщо

Рішення: Ні, це не друкарська помилка, вихідні дані в пунктах умови я навмисно зробив однаковими. Тому що оформлення рішень відрізнятиметься!

а) За умовою потрібно знайти довжинувекторні (векторного твору). За відповідною формулою:

Відповідь:

Якщо питалося про довжину, то відповіді показуємо розмірність – одиниці.

б) За умовою потрібно знайти площапаралелограма, побудованого на векторах. Площа даного паралелограма чисельно дорівнює довжині векторного твору:

Відповідь:

Зверніть увагу, що у відповіді про векторний витвір не йдеться взагалі, нас запитували про площі фігуривідповідно розмірність - квадратні одиниці.

Завжди дивимося, що потрібно знайти за умовою, і, виходячи з цього, формулюємо чіткийвідповідь. Може здатися буквоїдством, але літероїдів серед викладачів вистачає, і завдання з добрими шансами повернеться на доопрацювання. Хоча це не особливо натягнута причіпка - якщо відповідь некоректна, то складається враження, що людина не розуміється на простих речах і/або не вникла в суть завдання. Цей момент завжди потрібно тримати на контролі, вирішуючи будь-яке завдання з вищої математики та й з інших предметів теж.

Куди поділася велика літера «ен»? В принципі, її можна було додатково приліпити до рішення, але з метою скоротити запис, я цього не зробив. Сподіваюся, всім зрозуміло, що і це позначення одного і того ж.

Популярний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 2

Знайти площу трикутника, побудованого на векторах , якщо

Формула знаходження площі трикутника через векторний добуток дана в коментарях до визначення. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Насправді завдання справді дуже поширена, трикутниками взагалі можуть закатувати.

Для вирішення інших завдань нам знадобляться:

Властивості векторного твору векторів

Деякі властивості векторного твору ми вже розглянули, проте я їх включу до цього списку.

Для довільних векторів та довільного числа справедливі такі властивості:

1) В інших джерелах інформації цей пункт зазвичай не виділяють у властивостях, але він дуже важливий у практичному плані. Тож нехай буде.

2) - Властивість теж розібрано вище, іноді його називають антикомутативністю. Інакше кажучи, порядок векторів має значення.

3) - сполучні або асоціативнізакони векторної праці. Константи безпроблемно виносяться за межі векторного твору. Справді, чого їм робити?

4) - розподільні або дистрибутивнізакони векторної праці. З розкриттям дужок також немає проблем.

Як демонстрацію розглянемо коротенький приклад:

Приклад 3

Знайти , якщо

Рішення:За умовою знову потрібно знайти довжину векторного твору. Розпишемо нашу мініатюру:

(1) Згідно з асоціативними законами, виносимо константи за межі векторного твору.

(2) Виносимо константу межі модуля, у своїй модуль «з'їдає» знак «мінус». Довжина ж може бути негативною.

(3) Подальше зрозуміло.

Відповідь:

Настав час підкинути дров у вогонь:

Приклад 4

Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах , якщо

Рішення: Площа трикутника знайдемо за формулою . Загвоздка у тому, що вектори «це» і «де» самі представлені як сум векторів. Алгоритм тут стандартний і чимось нагадує приклади №3 та 4 уроку Скалярне твір векторів. Рішення для ясності розіб'ємо на три етапи:

1) На першому кроці висловимо векторний твір через векторний твір, по суті, виразимо вектор через вектор. Про довжини поки що ні слова!

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Використовуючи дистрибутивні закони, розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів.

(3) Використовуючи асоціативні закони, виносимо всі константи за межі векторних творів. При малому досвіді дії 2 і 3 можна виконувати одночасно.

(4) Перше та останнє доданок дорівнює нулю (нульовому вектору) завдяки приємній властивості. У другому доданку використовуємо властивість антикомутативності векторного твору:

(5) Наводимо подібні доданки.

В результаті вектор виявився через вектор, чого і потрібно досягти:

2) На другому етапі знайдемо довжину необхідного нам векторного твору. Ця дія нагадує Приклад 3:

3) Знайдемо площу шуканого трикутника:

Етапи 2-3 рішення можна було оформити і одним рядком.

Відповідь:

Розглянуте завдання досить поширене у контрольних роботах, ось приклад для самостійного вирішення:

Приклад 5

Знайти , якщо

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку. Подивимося, наскільки ви були уважні щодо попередніх прикладів;-)

Векторний твір векторів у координатах

, заданих в ортонормованому базисі , виражається формулою:

Формула і справді простецька: у верхній рядок визначника записуємо координатні вектори, у другий і третій рядки «укладаємо» координати векторів, причому укладаємо у строгому порядку- Спершу координати вектора "ве", потім координати вектора "дубль-ве". Якщо вектори потрібно помножити в іншому порядку, то рядки слід поміняти місцями:

Приклад 10

Перевірити, чи колінеарні будуть наступні вектори простору:
а)
б)

Рішення: Перевірка заснована на одному із тверджень даного уроку: якщо вектори колінеарні, то їхній векторний добуток дорівнює нулю (нульовому вектору): .

а) Знайдемо векторний твір:

Таким чином, вектори не колінеарні.

б) Знайдемо векторний твір:

Відповідь: а) не колінеарні; б)

Ось, мабуть, і всі основні відомості про векторні твори векторів.

Цей розділ буде невеликим, оскільки завдань, де використовується змішане твір векторів, небагато. Практично все буде впиратися у визначення, геометричний зміст і кілька робочих формул.

Змішаний твір векторів – це твір трьох векторів:

Ось так вони вишикувалися паровозиком і чекають, не дочекаються, коли їх обчислять.

Спочатку знову визначення та картинка:

Визначення: Змішаним твором некомпланарнихвекторів, взятих у даному порядку, називається обсяг паралелепіпеда, побудованого на даних векторах, з знаком «+», якщо базис правий, і знаком «–», якщо базис лівий.

Виконаємо малюнок. Невидимі нам лінії прокреслені пунктиром:

Занурюємося у визначення:

2) Вектори взяті у певному порядку, тобто перестановка векторів у творі, як ви здогадуєтеся, не минає без наслідків.

3) Перед тим, як прокоментувати геометричний зміст, зазначу очевидний факт: змішаний твір векторів є ЧИСЛОМ: . У навчальній літературі оформлення може бути дещо іншим, я звик позначати змішане твір через , а результат обчислень літерою «пе».

За визначенням змішаний твір – це обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах (фігура прокреслена червоними векторами та лініями чорного кольору). Тобто число дорівнює обсягу даного паралелепіпеда.

Примітка : креслення є схематичним.

4) Не заново паритися з поняттям орієнтації базису та простору. Сенс заключної частини у тому, що до обсягу може додаватися знак мінус. Простими словами, змішане твір може бути негативним: .

Безпосередньо з визначення слідує формула обчислення об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах.

У цій статті докладно зупинимося на понятті векторного твору двох векторів. Ми дамо необхідні визначення, запишемо формулу для знаходження координат векторного твору, перерахуємо та обґрунтуємо його властивості. Після цього зупинимося на геометричному сенсі векторного твору двох векторів та розглянемо рішення різних характерних прикладів.

Навігація на сторінці.

Визначення векторного твору.

Перед тим, як дати визначення векторного твору, розберемося з орієнтацією впорядкованої трійки векторів у тривимірному просторі.

Відкладемо вектори від однієї точки. Залежно від напрямку вектора, трійка може бути правою або лівою. Подивимося з кінця вектора те що, як відбувається найкоротший поворот від вектора до . Якщо найкоротший поворот відбувається проти годинникової стрілки, то трійка векторів називається правою, в іншому випадку - лівий.

Тепер візьмемо два не колінеарні вектори і . Відкладемо від точки А вектори та . Побудуємо деякий вектор, перпендикулярний одночасно та й. Вочевидь, що з побудові вектора ми можемо вчинити подвійно, поставивши йому або одне напрям, або протилежне (дивіться ілюстрацію).

В залежності від напрямку вектора впорядкована трійка векторів може бути правою або лівою.

Так ми впритул підійшли до визначення векторного твору. Воно дається двох векторів, заданих у прямокутної системі координат тривимірного простору.

Визначення.

Векторним твором двох векторіві , заданих у прямокутній системі координат тривимірного простору, називається такий вектор, що

Векторний твір векторів і позначається як .

Координати векторної праці.

Зараз дамо друге визначення векторного твору, яке дозволяє знаходити його координати за координатами заданих векторів.

Визначення.

У прямокутній системі координат тривимірного простору векторний твір двох векторів і є вектор , де координатні вектори.

Це визначення дає нам векторний твір у координатній формі.

Векторний твір зручно представляти у вигляді визначника квадратної матриці третього порядку, перший рядок якої є орти, у другому рядку знаходяться координати вектора, а в третьому – координати вектора у заданій прямокутній системі координат:

Якщо розкласти цей визначник за елементами першого рядка, то отримаємо рівність з визначення векторного твору в координатах (за необхідності звертайтеся до статті):

Слід зазначити, що координатна форма векторного твору повністю узгоджується з визначенням у першому пункті цієї статті. Більше того, ці два визначення векторного твору є еквівалентними. Доказ цього факту можете переглянути у книзі, вказаній наприкінці статті.

Властивості векторного твору.

Так як векторний твір у координатах представимо у вигляді визначника матриці, то на підставі легко обґрунтовуються наступні властивості векторного твору:

Наприклад, доведемо властивість антикомутативності векторного твору.

За визначенням і . Нам відомо, що значення визначника матриці змінюється на протилежне, якщо переставити місцями два рядки. , що доводить властивість антикомутативності векторного твору

Векторний твір – приклади та рішення.

Здебільшого зустрічаються три типи завдань.

У задачах першого типу задані довжини двох векторів та кут між ними, а потрібно знайти довжину векторного твору. У цьому випадку використовується формула .

приклад.

Знайдіть довжину векторного твору векторів і якщо відомо .

Рішення.

Ми знаємо з визначення, що довжина векторного твору векторів дорівнює твору довжин векторів і на синус кута між ними, тому, .

Відповідь:

.

Завдання другого типу пов'язані з координатами векторів, у яких векторний твір, його довжина чи ще шукається через координати заданих векторів і .

Тут можлива безліч різних варіантів. Наприклад, може бути задані не координати векторів і , які розкладання по координатним векторам виду і вектори і можуть бути задані координатами точок їх початку і кінця.

Розглянемо характерні приклади.

приклад.

У прямокутній системі координат задані два вектори . Знайдіть їхній векторний твір.

Рішення.

За другим визначенням векторний добуток двох векторів у координатах записується як:

До такого ж результату ми дійшли б, якби векторний твір записали через визначник

Відповідь:

.

приклад.

Знайдіть довжину векторного добутку векторів і , де - орти прямокутної декартової системи координат.

Рішення.

Спершу знайдемо координати векторного твору у заданій прямокутній системі координат.

Так як вектори мають координати і відповідно (при необхідності дивіться статтю координати вектора в прямокутній системі координат), то за другим визначенням векторного твору маємо

Тобто, векторний твір має координати у заданій системі координат.

Довжину векторного твору знаходимо як квадратний корінь із суми квадратів його координат (цю формулу довжини вектора ми отримали в розділі знаходження довжини вектора):

Відповідь:

.

приклад.

У прямокутній декартовій системі координат задані координати трьох точок. Знайдіть якийсь вектор, перпендикулярний і одночасно.

Рішення.

Вектори мають координати і відповідно (дивіться статтю знаходження координат вектора через координати точок). Якщо знайти векторний добуток векторів і , то воно є вектором, перпендикулярним і к і к , тобто, є рішенням нашої задачі. Знайдемо його

Відповідь:

- один із перпендикулярних векторів.

У задачах третього типу перевіряється навичка використання властивостей векторного добутку векторів. Після застосування властивостей застосовуються відповідні формули.

приклад.

Вектори перпендикулярні і їх довжини рівні відповідно 3 і 4 . Знайдіть довжину векторного твору .

Рішення.

За якістю дистрибутивності векторного твору ми можемо записати

В силу комбінаційної властивості винесемо числові коефіцієнти за знак векторних творів в останньому виразі:

Векторні твори і дорівнюють нулю, тому що і тоді .

Оскільки векторне твір антикоммутативно, то .

Отже, за допомогою властивостей векторного твору ми дійшли рівності .

За умовою вектори перпендикулярні, тобто кут між ними дорівнює . Тобто, ми маємо всі дані для знаходження необхідної довжини

Відповідь:

.

Геометричний зміст векторного твору.

За визначенням довжина векторного добутку векторів дорівнює . А з курсу геометрії середньої школи нам відомо, що площа трикутника дорівнює половині добутку довжин двох сторін трикутника на синус кута між ними. Отже, довжина векторного добутку дорівнює подвоєної площі трикутника, що має сторонами вектори і якщо їх відкласти від однієї точки. Іншими словами, довжина векторного твору векторів і дорівнює площі паралелограма зі сторонами та кутом між ними, рівним . У цьому полягає геометричне значення векторного твору.

7.1. Визначення векторного твору

Три некомпланарних вектори a, b і с, взяті в зазначеному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця третього вектора з найкоротший поворот від першого вектора а до другого вектора b видно таким, що відбувається проти годинникової стрілки, і ліву, якщо за годинниковою (див. рис. 16).

Векторним добутком вектора на вектор b називається вектор з , який:

1. Перпендикулярний векторам a і b , тобто с ^ а і с ^ b;

2. Має довжину, чисельно рівну площі паралелограма, побудованого на векторах а іbяк на сторонах (див. рис. 17), тобто.

3. Вектори a, b і з утворюють праву трійку.

Векторний твір позначається а х b або [а, b]. З визначення векторного твору безпосередньо випливають наступні співвідношення між ортами i , jі k(Див. мал. 18):

i x j = k , j x k = i , k x i = j .
Доведемо, наприклад, що i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, але | i x j| = | i | |J | sin(90°)=1;

3) вектори i, j та kутворюють праву трійку (див. мал. 16).

7.2. Властивості векторного твору

1. При перестановці сомножителей векторне твір змінює знак, тобто. а хb = (b хa) (див. рис. 19).

Вектори а хb і b ха колінеарні, мають однакові модулі (площа паралелограма залишається незмінною), але протилежно спрямовані (трійки а, b, а хb і a, b, b x a протилежної орієнтації). Стало бути a xb = -(b xa).

2. Векторний добуток має поєднану властивість щодо скалярного множника, тобто l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Нехай l>0. Вектор l (а хb) перпендикулярний векторам а і b. Вектор ( lа) х bтакож перпендикулярний векторам а і b(Вектори а, lа лежать у одній площині). Значить, вектори l(а хb) та ( lа) х bколінеарні. Очевидно, що й напрямки їх збігаються. Мають однакову довжину:

Тому l(a хb) = lа хb. Аналогічно доводиться при l<0.

3. Два ненульові вектори а і bколінеарні тоді й тільки тоді, коли їхній векторний твір дорівнює нульовому вектору, тобто а ||b<=>а хb = 0.

Зокрема, i * i = j * j = k * k = 0 .

4. Векторний твір має розподільну властивість:

(a +b)хс = а хс + bхс.

Приймемо без підтвердження.

7.3. Вираз векторного твору через координати

Ми використовуватимемо таблицю векторного твору векторів i , jі k:

якщо напрямок найкоротшого шляху від першого вектора до другого збігається з напрямком стрілки, то твір дорівнює третьому вектору, а то й збігається - третій вектор береться зі знаком «мінус».

Нехай задані два вектори а = а х i + a y j+a z kі b = b x i+b y j+b z k. Знайдемо векторний твір цих векторів, перемножуючи їх як багаточлени (згідно з властивостями векторного твору):

Отриману формулу можна записати ще коротше:

оскільки права частина рівності (7.1) відповідає розкладу визначника третього порядку за елементами першого рядка.Рівність (7.2) легко запам'ятовується.

7.4. Деякі програми векторного твору

Встановлення колінеарності векторів

Знаходження площі паралелограма та трикутника

Відповідно до визначення векторного твору векторів аі b |а хb | =|а | * | b | sin g , т. е. S пар = | а x b |. І, отже, D S = 1/2 | а х b |

Визначення моменту сили щодо точки

Нехай у точці А прикладена сила F =АВі нехай Про- Деяка точка простору (див. мал. 20).

З фізики відомо, що моментом сили F щодо точки Проназивається вектор М,який проходить через точку Прота:

1) перпендикулярний площині, що проходить через точки О, А, В;

2) чисельно дорівнює добутку сили на плече

3) утворює праву трійку з векторами ОА та АВ.

Отже, М = ОА х F .

Знаходження лінійної швидкості обертання

Швидкість vточки М твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю wнавколо нерухомої осі визначається формулою Ейлера v = w хr , де r = ОМ , де О- деяка нерухома точка осі (див. рис. 21).

ЗМІШАНА ВИРОБКА ТРОХ ВЕКТОРІВ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Змішаним творомтрьох векторів називають число, що дорівнює . позначається . Тут перші два вектори множаться векторно і потім отриманий вектор скалярно множиться на третій вектор . Очевидно, такий твір є кілька.

Розглянемо властивості змішаного твору.

1. Геометричний сенсзмішаного твору. Змішане твір 3-х векторів з точністю до знака дорівнює обсягу паралелепіпеда, побудованого цих векторах, як у ребрах, тобто. .

   Таким чином, і .

   

   Доказ. Відкладемо вектори від загального початку та побудуємо на них паралелепіпед. Позначимо і зауважимо, що . За визначенням скалярного твору

   Припускаючи, що і позначивши через hвисоту паралелепіпеда, знаходимо .

   Таким чином, при

   Якщо ж, то й. Отже, .

   Об'єднуючи обидва ці випадки, отримуємо або .

   З підтвердження цієї якості зокрема випливає, що й трійка векторів права, то змішане твір , і якщо – ліва, то .

2. Для будь-яких векторів , , справедлива рівність

   Доказ цієї властивості випливає з властивості 1. Справді, легко показати, що . До того ж знаки "+" і "-" беруться одночасно, т.к. кути між векторами та і одночасно гострі або тупі.

3. При перестановці будь-яких двох співмножників змішаний твір змінює знак.

   Справді, якщо розглянемо змішаний твір, то, наприклад, або

4. Змішаний твір тоді і тільки тоді, коли один із співмножників дорівнює нулю або вектори – компланарні.

   Доказ.

   Т.ч., необхідною та достатньою умовою компланарності 3-х векторів є рівність нулю їх змішаного твору. Крім того, звідси випливає, що три вектори утворюють базис у просторі, якщо .

   Якщо вектори задані в координатній формі , то можна показати, що їхнє змішане твір знаходиться за формулою:

   .

   Т. о., змішаний твір дорівнює визначнику третього порядку, у якого у першому рядку стоять координати першого вектора, у другому рядку – координати другого вектора та у третьому рядку – третього вектора.

   приклади.

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРОСТОРІ

Рівняння F(x, y, z)= 0 визначає у просторі Oxyzдеяку поверхню, тобто. геометричне місце точок, координати яких x, y, zзадовольняють цього рівняння. Це рівняння називається рівнянням поверхні, а x, y, z- поточними координатами.

Однак, часто поверхня задається не рівнянням, а як безліч точок простору, що мають ту чи іншу властивість. І тут потрібно знайти рівняння поверхні, з її геометричних властивостей.

ПЛОЩІСТЬ.

НОРМАЛЬНИЙ ВЕКТОР ПЛОЩИНИ.

РІВНЯННЯ ПЛОСКОСТІ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ ДАНУ ТОЧКУ

Розглянемо у просторі довільну площинуσ. Її положення визначається завданням вектора , перпендикулярного цій площині, та деякої фіксованої точки M 0(x 0, y 0, z 0), що лежить у площині σ.

Вектор перпендикулярний площині σ називається нормальнимвектор цієї площини. Нехай вектор має координати.

Виведемо рівняння площини σ, що проходить через цю точку M 0і має нормальний вектор. Для цього візьмемо на площині σ довільну точку M(x, y, z)і розглянемо вектор.

Для будь-якої точки MÎ σ вектор .Тому їх скалярний твір дорівнює нулю. Ця рівність – умова того, що точка MÎ σ. Воно справедливе для всіх точок цієї площини і порушується, як тільки точка Mопиниться поза площиною σ.

Якщо позначити через радіус-вектор точки M, – радіус-вектор точки M 0, то й рівняння можна записати у вигляді

Це рівняння називається векторнимрівнянням площини. Запишемо його у координатній формі. Оскільки , то

Отже, ми отримали рівняння площини, що проходить цю точку. Таким чином, для того, щоб скласти рівняння площини, потрібно знати координати нормального вектора та координати деякої точки, що лежить на площині.

Зауважимо, що рівняння площини є рівнянням 1-го ступеня щодо поточних координат x, yі z.

приклади.

ЗАГАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ПЛОСКОСТІ

Можна показати, що будь-яке рівняння першого ступеня щодо декартових координат x, y, zє рівнянням деякої площини. Це рівняння записується як:

Ax+By+Cz+D=0

і називається загальним рівняннямплощині, причому координати A, B, Cтут є координати нормального вектора площини.

Розглянемо окремі випадки загального рівняння. З'ясуємо, як розташовується площина щодо системи координат, якщо один або кілька коефіцієнтів рівняння звертаються до нуля.

A – це довжина відрізка, що відсікається площиною на осі Ox. Аналогічно, можна показати, що bі c- Довжини відрізків, що відсікаються площиною на осях, що розглядається. Ойі Oz.

Рівнянням площини у відрізках зручно користуватися для побудови площин.

Перед тим, як дати поняття векторного твору, звернемося до питання орієнтації впорядкованої трійки векторів a → , b → , c → у тривимірному просторі.

Відкладемо спочатку вектори a → , b → , c → від однієї точки. Орієнтація трійки a → , b → , c → буває правою чи лівою, залежно від напрямку самого вектора c → . Від того, в яку сторону здійснюється найкоротший поворот від вектора a → до b → з кінця вектора c → буде визначено вид трійки a → , b → , c → .

Якщо найкоротший поворот здійснюється проти годинникової стрілки, то трійка векторів a → , b → , c → називається правою, якщо за годинниковою стрілкою – лівий.

Далі візьмемо два не колінеарні вектори a → і b → . Відкладемо потім від точки A вектори AB → = a → і A C → = b → . Побудуємо вектор A D → = c → , який перпендикулярний одночасно і A B → і A C → . Таким чином, при побудові самого вектора A D → = c → ми можемо надійти подвійно, задавши йому або один напрямок, або протилежний (дивіться ілюстрацію).

Впорядкована трійка векторів a → , b → , c → може бути, як ми з'ясували правою чи лівою залежно від напрямку вектора.

Зі сказаного вище можемо ввести визначення векторного твору. Це визначення дається для двох векторів, визначених у прямокутній системі координат тривимірного простору.

Визначення 1

Векторним твором двох векторів a → та b → називатимемо такий вектор заданий у прямокутній системі координат тривимірного простору такий, що:

• якщо вектори a → та b → колінеарні, він буде нульовим;
• він буде перпендикулярний і вектору a → та вектору b → тобто. ∠ a → c → ∠ b → c → = π 2 ;
• його довжина визначається за формулою: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b →;
• трійка векторів a → , b → , c → має таку саму орієнтацію, як і задана система координат.

Векторний добуток векторів a → та b → має таке позначення: a → × b → .

Координати векторного твору

Оскільки будь-який вектор має певні координати в системі координат, можна ввести друге визначення векторного твору, яке дозволить знаходити його координати за заданими координатами векторів.

Визначення 2

У прямокутній системі координат тривимірного простору векторним твором двох векторів a → = (a x ; a y ; a z) і b → = (b x ; b y ; b z) називають вектор c → = a → × b → = (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · by - ay · bx) · k → , де i → j → k → є координатними векторами.

Векторний твір можна представити як визначник квадратної матриці третього порядку, де перший рядок є вектори орти i → , j → , k → , другий рядок містить координати вектора a → , а третій – координати вектора b → у заданій прямокутній системі координат, даний визначник матриці виглядає так: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Розклавши даний визначник за елементами першого рядка, отримаємо рівність: j → k → axayazbxbybz = ayazbybz · i → - axazbxbz · j → + axaybxby · k → = = a → × b → = (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · by - ay · bx) · k →

Властивості векторного твору

Відомо, що векторний твір в координатах представляється як визначник матриці c → = a → × b → = i → властивостей визначника матрицівиводяться такі властивості векторного твору:

1. антикомутативність a → × b → = - b → × a →;
2. дистрибутивність a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → або a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. асоціативність λ · a → × b → = λ · a → × b → або a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , де λ - довільне дійсне число.

Ці властивості мають не складні докази.

Наприклад, можемо довести властивість антикомутативності векторного твору.

Доказ антикомутативності

За визначенням a → x b → = i → j → k → a x a y z b x b y b z і b → x a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . А якщо два рядки матриці переставити місцями, то значення визначника матриці має змінюватися на протилежне, отже, a → x b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a → та доводить антикомутативність векторного твору.

Векторний твір – приклади та рішення

Найчастіше зустрічаються три типи завдань.

У задачах першого типу зазвичай задані довжини двох векторів та кут між ними, а потрібно знайти довжину векторного твору. У цьому випадку користуються наступною формулою c → a → b → sin ∠ a → , b → .

Приклад 1

Знайдіть довжину векторного добутку векторів a → і b → якщо відомо a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

Рішення

За допомогою визначення довжини векторного добутку векторів a → і b → розв'яжемо дану задачу: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Відповідь: 15 2 2 .

Завдання другого типу мають зв'язок із координатами векторів, у яких векторний твір, його довжина тощо. шукаються через відомі координати заданих векторів a → = (a x ; a y ; a z) і b → = (b x ; b y ; b z) .

Для такого типу завдань можна вирішити масу варіантів завдань. Наприклад, можуть бути задані не координати векторів a → і b → , які розкладання по координатним векторам виду b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → і c → = a → × b → = (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → вектори a → та b → можуть бути задані координатами точок їх початку та кінця.

Розглянемо такі приклади.

Приклад 2

У прямокутній системі координат задані два вектори a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Знайдіть їхній векторний твір.

Рішення

За другим визначенням знайдемо векторний добуток двох векторів у заданих координатах: a → × b → = (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · by - ay · bx) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Якщо записати векторний твір через визначник матриці, то рішення даного прикладу виглядає наступним чином: a → x b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Відповідь: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Приклад 3

Знайдіть довжину векторного добутку векторів i → - j → та i → + j → + k → , де i → , j → , k → - орти прямокутної декартової системи координат.

Рішення

Для початку знайдемо координати заданого векторного твору i → - j → × i → + j → + k → у цій прямокутній системі координат.

Відомо, що вектори i → - j → і i → + j → + k → мають координати (1; - 1; 0) і (1; 1; 1) відповідно. Знайдемо довжину векторного твору за допомогою визначника матриці, тоді маємо i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Отже, векторний твір i → - j → × i → + j → + k → має координати (-1; - 1; 2) у заданій системі координат.

Довжину векторного твору знайдемо за формулою (див. розділ довжини вектора): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Відповідь: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Приклад 4

У прямокутній декартовій системі координат задані координати трьох точок A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Знайдіть якийсь вектор, перпендикулярний A B → і A C → одночасно.

Рішення

Вектори A B → і A C → мають наступні координати (- 1 ; 2 ; 2) та (0 ; 4 ; 1) відповідно. Знайшовши векторний добуток векторів A B → і A C → , очевидно, що він є перпендикулярним вектором за визначенням і до A B → , і до A C → , тобто є рішенням нашої задачі. Знайдемо його A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Відповідь: - 6 i → + j → - 4 k → . - один із перпендикулярних векторів.

Завдання третього типу орієнтовані використання властивостей векторного твору векторів. Після застосування яких будемо отримувати рішення заданого завдання.

Приклад 5

Вектори a → та b → перпендикулярні та їх довжини рівні відповідно 3 та 4 . Знайдіть довжину векторного твору 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Рішення

За властивістю дистрибутивності векторного твору ми можемо записати 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →

За властивістю асоціативності винесемо числові коефіцієнти за знак векторних творів в останньому виразі: 3 · a → × a → +3 · a → = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b →

Векторні твори a → × a → і b → × b → рівні 0, оскільки a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 і b → × b → = b → · b → 0 , тоді 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → ? .

З антикомутативності векторного твору випливає - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Скориставшись властивостями векторного твору, отримуємо рівність 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

За умовами вектори a → та b → перпендикулярні, тобто кут між ними дорівнює π 2 . Тепер залишається лише підставити знайдені значення у відповідні формули: 3 · a → - b → ? → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Відповідь: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 60 .

Довжина векторного твору векторів за орпеділенням дорівнює a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Оскільки вже відомо (зі шкільного курсу), площа трикутника дорівнює половині добутку довжин двох сторін помножене на синус кута між цими сторонами. Отже, довжина векторного добутку дорівнює площі паралелограма - подвоєного трикутника, а саме добутку сторін у вигляді векторів a → і b → відкладені від однієї точки на синус кута між ними sin ∠ a → , b → .

Це і є геометричний сенс векторного твору.

Фізичний сенс векторного твору

У механіці, одному з розділів фізики завдяки векторному твору можна визначити момент сили щодо точки простору.

Визначення 3

Під моментом сили F → ​​, прикладеної до точки B , щодо точки A розумітимемо наступний векторний твір A B → × F → .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter