Na tej ravni si lahko ogledamo še dve operaciji z vektorji: vektorska kabina vector_vі Zmіshany tvіr vectorіv (Vіdrazu possilannya, ki potrebuje prav to stvar). Ni nič strašnega, zato je včasih samo za popolno srečo, krim skalarni ustvarjalni vektor, Potrebujete več in več. To je vektorska os odvisnosti od drog. Lahko se prišteje k sovražniku, scho plezamo v mrežo analitične geometrije. Tse ni tako. Komur so veliki matematiki vzeli malo drv, se je bolje družiti z Ostržekom. Res, material je bolj širok in preprost - komaj bolj zložljiv, nižji od enakega skalarni tvir, bo manj tipičnih nalog. Golovne v analitični geometriji, tako kot marsikdo, ki si premisli in že ima nered, NE IMAJTE USMILJENJA HIVISLE. Ponovite kot urok in srečni boste.

Kot vektorji in vibriraj tukaj daleč, kot se blešči na obzorju, ne bodi, začni od lekcije Vektorji za čajnike, da bi se naučili ali pridobili osnovno znanje o vektorjih. Bralci lahko izvejo več o teh informacijah, poskušal sem izbrati najbolj popolno zbirko aplikacij, ki jih pogosto uporabljajo praktični roboti

Kaj vas bo osrečilo? Če sem majhen, sem se naučil žonglirati z dvema in zavijati tri v vrečke. Bilo je grozljivo. Hkrati se žongliranje ne bo zgodilo bliskovito, vidijo se drobci naših oči samo vektorji vesolja, ploščati vektorji iz dveh koordinat pa ostanejo zadaj. zakaj? Tako so se podatki že rodili - vektor ni enak zmіshane tvіr vektorіv je namenjen vadbi v trivialnem prostoru. Že lažje!

V tej operaciji, tako kot pri skalarnem ustvarjanju, sodelujte dva vektorja. Naj bodo nesmrtna pisma.

sama diya biti imenovan pridemo v rang: . Možnosti Іsnuyut in іnshі, vendar uporabljam tudi zvok za označevanje vektorja tvir na enak način, v kvadratnih krakih s križem.

jaz takoj hrano: yakscho v skalarno ustvarjanje vektorjev vzemite usodo dveh vektorjev in tukaj tudi pomnožite dva vektorja kakšna je razlika? Jasna razlika, najprej za vse, kot REZULTAT:

Rezultat ustvarjanja skalarnega vektorja je ê:

VEKTOR: , potem se vektor pomnoži in vektor ponovno vzamemo. Zaprt klub. Vlasne, zvok je ime operacije. V različni primarni literaturi se lahko pomen istega spreminja, izberem črko .

Oznaka ustvarjanja vektorja

Vrnil se bom s sliko, potem pa s komentarji.

Imenovanje: Vektorska kreativa nekolinearno vektoriv, vzeto iz danega naročila, imenovan VECTOR, dozhinaštevilčno boljša površina paralelograma, ki temelji na teh vektorjih; vektor ortogonalno na vektorje, in usmeritve, tako da ima osnova pravo orientacijo:

Termin izbiramo po čopičah, tu je veliko cikade!

Ponovno lahko poimenujete naslednje trenutke:

1) Zunanji vektorji, označeni z rdečimi puščicami, za označene ne kolinearno. Vipadok kolіnearnyh vektor_v pred reko bo videti trohi pіznіshe.

2) Vzemite vektorje v strogo določenem vrstnem redu: – "a" pomnoženo z "be", in chi ni "biti" do "a". Rezultat množenja vektorjevє Vektor z vrednostmi modre barve. Če pomnožite vektorje y v obratnem vrstnem redu, potem odvzamemo vektor, ki je enak razdalji, in ravni vektor (rdeča barva). Tobto pošteno ljubosumje .

3) Zdaj je prepoznavno iz geometrijskega zm_st vektorskega ustvarjanja. To je izjemno pomembna točka! Dolžina modrega vektorja (in tudi i škrlatne vektorje) je glede na vektorje številčno večja od površine paralelograma. Na malem je paralelogram senčenja s črno barvo.

Opomba : fotelj є shematično, і, seveda, nominalna vrednost ustvarjanja vektorja ni enaka površini paralelograma.

Ugibamo eno od geometrijskih formul: površina paralelograma je dražja, če vsoto stranic dodamo sinusu reza med njimi. Glede na zgoraj navedeno velja formula za izračun DOVZHINI ustvarjanja vektorja:

Ponavljam, da formule govorijo o DOL vektorja in ne o samem vektorju. Kakšen praktični zmist? In smisel je takšen, da je definicija analitične geometrije območja paralelograma pogosto znana skozi koncept vektorskega produkta:

Vzemimo prijatelju pomembno formulo. Diagonala paralelograma (črna pikčasta črta) razdeli jogo na dva enaka trikota. Pozneje lahko območje trikutnika, ki ga navdihujejo vektorji (črno senčenje), poznamo po formuli:

4) Nič manj pomembno dejstvo je, da je vektor ortogonalen na vektorje, da . Razumljivo je, da je vektor za ravnanje (rdeča puščica) pravokoten tudi na zunanje vektorje.

5) Vektor ravnanja tako, da osnova lahko zakon orientacijo. Pri lekciji o pojdi na novo osnovo Poročam o ravninska orientacija in takoj bomo ugotovili, kakšna orientacija v prostor. Na prste vam bom razložil desno roko. Premisli v oči pritegne prst z vektorjem i sredinec z vektorjem. Prstanec in mezinec pritisnite navzdol v dolino. Kot rezultat palec- Vector tvir je navkreber. Cena in osnova za desno orientacijo (v majhnem obsegu). Zdaj se spomnite vektorjev ( izrazni in srednji prsti) z rokami, posledično se bo palec dvignil, vektor tvir pa se bo že premaknil navzdol. To je tudi osnova za desno orientacijo. Morda se vam zdi hrana: kakšno osnovo lahko imam levo usmerjenost? "Povabite" iste prste leva roka vektorji in odvzamemo levo osnovo in levo orientacijo prostora (v mojem primeru je veliki prst razpršen na ravni črti spodnjega vektorja). Figurativno, očitno, podlage "zvijajo" ali usmerjajo prostor na različnih straneh. In če tega ne razumemo, pomislimo na to abstraktno - tako na primer orientacija prostora spremeni velikost zrcala in je tako, kot da bi "predmet udaril iz ogledala", potem ne moreš priti v "original" v divjini. Pred govorom položite tri prste k ogledalu in analizirajte vtis;-)

... še vedno je dobro, kaj zdaj veste desno in levo orientacijo baze, bolj strašljiv govor takih predavateljev o menjavi orientacije =)

Vektorski tvir kolinearni vektorji

Imenovanje je bilo menda razstavljeno, ni bilo več pojasnila, kaj je potrebno, če so vektorji kolinearni. Ker so vektorji kolinearni, jih lahko razširimo na eno ravno črto in tudi naš paralelogram zložimo v eno ravno črto. Takšno področje, kot se zdi matematiki, virogena Paralelogram je enak nič. Formule Tse w vyplivaє i z - sinus nič ali 180 stopinj proti nič in zato kvadrat nič

V takem rangu, yakscho, torej і . Da bodite pozorni na dejstvo, da je sam vektor enak nič vektorju, v praksi pa je pogosto težko zapisati, da je tudi vektor enak nič.

Okremy vipadok - vektorski tvir vektorja na sebi:

Za pomoč pri ustvarjanju vektorja je mogoče obrniti kolinearnost trivimernih vektorjev in rešiti nalogo sredine drugih konfliktov.

Za popolnost praktičnih aplikacij boste morda potrebovali trigonometrična miza, da bi našli pomen sinusov.

No, zakurimo ogenj:

zadnjica 1

a) Pozna vrednost vektorske tvorbe vektorjev, torej

b) Poišči površino paralelograma na podlagi vektorjev

Rešitev: Hі, tse ne a drukarska pardon, vihіdnі danі v točkah uma, I navmisno zrobiv isto. Zato je poskrbljeno za oblikovalsko odločitev!

a) Um mora vedeti dozhina vektor (ustvarjanje vektorja). Za posebno formulo:

Vidpovid:

Če ste jedli o dovžini, se zdi, da kažete mir - osamljenost.

b) Um je treba vedeti območje paralelogram, ki temelji na vektorjih. Območje tega paralelograma je številčno boljše od ustvarjanja vektorja:

Vidpovid:

Za spoštovanje dejstva, da ni opozoril o vektorski witting, so nas povprašali kvadratne figure vіdpovіdno rozіrnіst - kvadnі odinіtsі.

Vedno se čudite temu, kar je treba vedeti onstran uma jasno dokaz. To lahko storite s črkami, ale črkami v sredini vikladachiv vistacha in z dobrimi možnostmi, da se obrnete na dodatno zdravljenje. Čeprav sklepanje ni posebej napeto - če ni pravilno, potem pride do reakcije, ki je oseba ne razume v preprostih govorih in / ali se ne poglobi v bistvo naloge. V tem trenutku morate poskusiti na nadzoru, virishuyuchi biti kot zavdannya z matematika in z іnshih predmetov tezh.

Kam je izginila velika črka "en"? Načeloma se je bilo mogoče držati njene odločitve, a z načinom pospeševanja snemanja tega nisem ubil. I spodіvayus, vse zrozumіlo, scho in tse pomen enega in istega.

Priljubljena zadnjica za neodvisno vizijo:

zadnjica 2

Spoznajte območje trikutnika, ki ga navdihujejo vektorji, yakscho

Formula za površino trikota skozi vektor dobutok je podana v komentarjih pred terminom. Rešitev je sledenje zgledu lekcije.

Pravzaprav je garderoba res široka, lahko jo zvijejo s trikoti.

Za izvedbo drugih nalog potrebujemo:

Moč vektorskega ustvarjalnega vektorja

Ogledali smo si že vodilne avtoritete vektorskega ustvarjanja, vključil jih bom na seznam.

Za več vektorjev in večje število veljajo naslednje moči:

1) V drugih virih informacij organi oblasti ne slišijo te točke, vendar je v praksi še vedno pomembna. Naj bo torej.

2) - Moč tezh rozіbrano več, іnodі yogo klic antikomutativno. V nasprotnem primeru je očitno vrstni red vektorja lahko pomemben.

3) - vesel oz asociativno zakoni vektorske prakse. Konstanty brezhibno krivi za intervektorsko ustvarjalnost. Res, kaj morajo narediti?

4) - rozpodіlnі abo distribucijski zakoni vektorske prakse. Tudi pri odpiranju okova ni težav.

Kot demonstracijo se pogleda kratka zadnjica:

zadnjica 3

Spoznaj yakscho

rešitev: Za um je treba poznati področje ustvarjanja vektorjev. Napišimo našo miniaturo:

(1) Zgіdno z asociativnimi zakoni, za nastanek intervektorja krivimo konstanto.

(2) Krivimo medmodulsko konstanto, njen lastni modul ima predznak »minus«. Dovzhina je lahko negativna.

(3) Nadalje sem razumel.

Vidpovid:

Prišla je ura, da na ogenj dodamo drva:

zadnjica 4

Izračunajte površino prevaranta, ki ga navdihujejo vektorji, kot

Rešitev: Površino trikutnika poznamo po formuli . Ulov je v tem, da sta vektorja "ce" in "de" sama predstavljena kot vsota vektorjev. Algoritem tukaj je standarden in uganite kaj, uporabite št. 3 in 4 za lekcijo Skalarni tvir vektor_v. Zaradi jasnosti je rešitev razdeljena na tri stopnje:

1) Na prvem kvačkanju lahko vidimo vektor tvir skozi vektor tvir, pravzaprav virazimo vektor skozi vektor. O dožini še ni besed!

(1) Predstavljena s številnimi vektorji.

(2) Vikoristovuyuchi distribucijski zakoni, ki odpirajo loke za pravilo množenja bogatih izrazov.

(3) Vikoristovuyuchi asociativni zakon, krivimo vse konstante za ustvarjanje intervektorja. Z majhnim dosvіdі dії 2 і 3 je mogoče premagati eno uro.

(4) V prvi vrsti so preostali dodatki k ničli (ničelni vektor) nagrade za sprejem moči. Še en dodatek ima moč antikomutativnosti ustvarjanja vektorja:

(5) Predlagajte podobne dodanke.

Posledično se je vektor pojavil skozi vektor, kar je potrebno doseči:

2) Na drugi stopnji bomo vedeli dolžino izdelave vektorja, ki jo potrebujemo. Tsya deya ugiba zadnjico 3:

3) Poznamo območje shukan tricoutnika:

Rešitve 2-3 stopenj se lahko zaključijo v eni vrsti.

Vidpovid:

Oglejte si nalogo, da bi bila širša v krmilnih robotih, os zadnjice za neodvisno varianco:

zadnjica 5

Spoznaj yakscho

Na kratko, rešitev je ponazoriti lekcijo. Presenetljivo, kako zelo ste bili spoštljivi do sprednjih zadnjic ;-)

Vektor tvír vektorív y koordinate

, podano v ortonormalni osnovi , izraženo s formulo:

Formula je res preprosta: v zgornji vrstici označevalnika so napisani koordinatni vektorji, v drugi in tretji vrstici so koordinate vektorjev »zložene«, poleg tega je v strogem redu- Najprej koordinate vektorja "ve", nato koordinate vektorja "double-ve". Če je treba vektorje pomnožiti v drugačnem vrstnem redu, je treba vrstice zapomniti kot presledke:

zadnjica 10

Preverite, kateri so naslednji vektorji in presledki:
ampak)
b)

Rešitev: Revizija temelji na enem od načel te lekcije: ker so vektorji kolinearni, je njihov vektorski komplement enak nič (ničelni vektor): .

a) Vektorski TV poznamo:

Na ta način vektorji niso kolinearni.

b) Vektorski TV poznamo:

Vidpovid: a) ni kolinearen; b)

Os, morda in vse glavne informacije o vektorskem ustvarjanju vektorjev.

Tsej rasdіl bude majhen, oskolki zavdan, de vikoristovuetsya zmіshane tvіr vektorіv, ni bogat. Praktično vse se bo vklopilo v zasnovo, geometrijsko spremembo in papalino delovnih formul.

TV vektor Zmishany:

Os tako smrdi kot vlak in preveri, ne preverjaj, če so napolnjene.

Na zadnji strani glave bom znova odkril tisto sliko:

Imenovanje: Ustvarjeno s kreativnostjo nekoplanarno vektoriv, vzeto iz danega naročila, klical obsyag paralepiped, na podlagi teh vektorjev, z znakom »+«, torej je osnova desna, in znakom »–«, torej je osnova leva.

Vidimo male. Črte, ki so nam nevidne, so prekrižane s pikčasto črto:

Zanuryuёmosya ob sestanku:

2) Vzemite vektorje po vrstnem redu pesmi, tako da permutacija vektorjev pri ustvarjanju, kot ugibate, ne mine brez sledi.

3) Pred tem bom kot komentar geometrijske spremembe navedel očitno dejstvo: zm_shany tv_r vectorіv є ŠTEVILKA: . V začetni literaturi je zasnova lahko nekako drugačna, mislim, da je zvok zmishane tvir skozi, rezultat pa se izračuna s črko "ne".

Za sestanek zmіshany tvіr - tse obsyag paralelepiped, ki temelji na vektorjih (slika je prekrižana z rdečimi vektorji in črnimi črtami). To je številka starega obyagu tega paralelepipeda.

Opomba : stoli so skicirani.

4) Ne poskušajte znova razumeti orientacije osnove in prostora. Občutek končnega dela tistega, ki lahko prevzame obvezni znak, je minus. Preprosto povedano, zmishane tvir je lahko negativno: .

Sledi formula za izračun prostornine paralelepipeda na podlagi vektorjev.

V tem članku poročamo o razumevanju vektorske tvorbe dveh vektorjev. Mi damo nujen sestanek, bomo zapisali formulo za pomen koordinat vektorja ustvarjanja, prerahuemo, da obguruntuemo yogo moč. Oglejmo si geometrijski smisel vektorske tvorbe dveh vektorjev in poglejmo rešitve različnih značilnih aplikacij.

Navigacija ob strani.

Zasnovan za ustvarjanje vektorjev.

Pred tem si v poklon oznaki tvorbe vektorjev poglejmo orientacijo urejenega tria vektorjev v trivialnem prostoru.

Dodamo vektorje in v eno točko. Pad v smeri vektorja, trije so lahko desni ali levi. Če pogledamo konec vektorja, vidimo, kako je najkrajši zavoj v vektorju do . Če je najkrajši zavoj proti božji puščici, se imenuje trio vektorjev prav, na drugačen način - livy.

Zdaj vzamemo dva nekolinearna vektorja i. Vektorju in dodamo točko A. Imejmo pravi vektor, hkrati pa pravokotnice. Očitno je, da lahko subtilno naredimo umirjene vektorje, tako da jih postavimo enega neposredno ali v nasprotno smer (da se čudimo ilustraciji).

V ledini v smeri vektorja je urejena trojica vektorjev, desno ali levo.

Torej smo vpritul pіdіyshli v vyznachennya vektorsko ustvarjanje. Pravokotnemu koordinatnemu sistemu trivimernega prostora sta dodeljena dva vektorja.

Imenovanje.

Vektorska tvorba dveh vektorjev i , dano pravokotnemu sistemu koordinat trivimernega prostora, se imenuje tak vektor, ki

Vector tvіr vektorіv in poznaєєєє jak.

Vektorske delovne koordinate.

Tudi tokrat je ustvarjanju vektorja dodeljen prijatelj, saj vam omogoča, da poznate koordinate za koordinatami danih vektorjev.

Imenovanje.

V pravokotnem koordinatnem sistemu trivialnega prostora vektor tvir dva vektorja і ê vektor , de koordinatni vektorji.

Namen naloge je podati vektorski tvir koordinatnega obrazca.

Vektor tvir je vizualno predstavljen s kvadratno matriko tretjega reda v prvi vrstici, koordinate vektorja so v drugi vrstici, koordinate vektorja v danem pravokotnem koordinatnem sistemu pa so v tretji vrstici:

Če ta označevalec postavite za elemente prve vrstice, potem vzamemo enakost označbe ustvarjanja vektorja v koordinatah (po potrebi pojdite na članek):

Naslednji korak je označiti, da je koordinatna oblika oblikovanja vektorja primernejša za določitve prvega odstavka člena. Poleg tega sta dve oznaki ustvarjanja vektorja enakovredni. Dokaz tega dejstva si lahko pogledate v knjigi, v izjavi, na primer v statutu.

Moč ustvarjanja vektorjev.

Ker je vektorski twir na koordinatah predstavljiv ob pogledu na matriko, je na podstavek enostavno namestiti nogo moč ustvarjanja vektorjev:

Na primer, prinesemo moč antikomutativnosti ustvarjanja vektorja.

Za sestanek і . Vemo, da se vrednost matrike spreminja glede na dolžino, tako da lahko dve vrstici prerazporedimo v vrstice. , kaj prinesti moč antikomutativnosti ustvarjanja vektorja

Vector TV - uporabite to rešitev.

Zdebіl'gogo zustrichayutsya trije tipi zavdan.

Pri problemih prve vrste je naloga imeti dva vektorja in med njima, vendar je treba poznati dolžino nastanka vektorja. S tega vidika je formula zmagovita .

zadnjico.

Izvedite več o vektorskem ustvarjanju vektorjev in kako vedeti .

Rešitev.

Vemo, da je vrednost vektorske tvorbe vektorjev pomembnejša za tvorbo vektorjev in sinusnega reza med njimi, da .

predlog:

.

Naloge drugačne vrste so povezane s koordinatami vektorjev, pri nekaterih vektorskih televizorjih je bolj običajno pregledovati koordinate danih vektorjev і .

Tu ni drugih možnosti. Na primer, ne določite koordinat vektorjev i , kot postavitev v skladu s koordinatnimi vektorji obrazca і vektorje і lahko podamo s koordinatami točk, ki so na koncu storža.

Poglejmo si značilne primere.

zadnjico.

Pravokotni koordinatni sistem ima dva vektorja . Poiščite svoj vektorski TV.

Rešitev.

Za drugo oznako je vektorsko seštevanje dveh vektorjev v koordinatah zapisano kot:

Do enakega rezultata smo to storili, b, vektor yakbi tvir je bil posnet prek vyznachnika

predlog:

.

zadnjico.

Poiščite vrednost vektorske razširitve vektorjev i , de-orti pravokotnega kartezijanskega koordinatnega sistema.

Rešitev.

Najprej poznamo koordinate nastanka vektorja za dani pravokotni koordinatni sistem.

Ker lahko vektorji določijo koordinate in je to mogoče (če je potrebno, se čudite koordinatam vektorja v pravokotnem koordinatnem sistemu), potem je za drugo označbo nastanka vektorja možno

Tobto, vektorska TV ima lahko koordinate za dani koordinatni sistem.

Vrednost nastanka vektorja je znana kot kvadratni koren vsote kvadratov njegovih koordinat (formula za vrednost vektorske vrednosti je bila odvzeta v porazdelitvi vrednosti vrednosti vektorske vrednosti):

predlog:

.

zadnjico.

Pravokotni kartezijev koordinatni sistem ima tri koordinate. Poiščite vektor, ki je hkrati pravokoten na i.

Rešitev.

Vektorji lahko najdejo koordinate in to je očitno (čudite se statusu pomena vektorskih koordinat preko koordinatnih točk). Če poznamo vektorski komplement vektorja i , potem je vektor pravokoten na i k i k , tako da rešujemo naše probleme. Spoznajte jogo

predlog:

- eden od pravokotnih vektorjev.

Pri nalogah tretje vrste je izbira moči vektorja obrnjena. Po stagnaciji moči, stoosovuyutsya vіdpovіdnі formule.

zadnjico.

Vektorja sta pravokotna in sta enaka 3 in 4 . Izvedite več o vektorski umetnosti .

Rešitev.

Zaradi distribucijske narave ustvarjanja vektorja lahko pišemo

Zaradi kombinacije državne moči so krivi številčni koeficienti za predznak vektorskih kreacij v preostalem delu spektra:

Vektor ustvari in zgradi do nič, do tega і enako.

Vektor Oskіlki torej ni antikomutativen.

Otzhe, za pomoč organov ustvarjanja vektorjev smo si delili enakovrednost .

Za umom so vektorji pravokotni, tako da je rez med njimi lepši. Tobto, morda imamo vse podatke za poznavanje nujnega življenja

predlog:

.

Ustvarjanje geometrijskega zm_st vektorja.

Za imenovanje dožine vektorja . In iz tečaja geometrije srednje šole vemo, da je kvadrat trikota dražji od polovice dobutke dožinov obeh stranic trikota na sinusu reza med njima. Otzhe, dozhina vektor dobutku dorіvnyuє podvoєnoї ploschі trikutnik, scho maє strani vektori і yakshcho їх vіdklasti vіd odnієї točk. Z drugimi besedami, dolžina vektorske tvorbe vektorja in bolj ravna površina paralelograma s stranicami in stranicami med njima sta enaki. Pri kom poligaє geometrijski pomen ustvarjanja vektorja.

7.1. Oznaka ustvarjanja vektorja

Trije nekomplanarni vektorji a, b in c, vzeti v določenem vrstnem redu, izpolnjujejo desno trojko, kot da je od konca tretjega vektorja h viden najkrajši obrat od prvega vektorja a do drugega vektorja b v takem tako, da gre proti Godinnikovi puščici, levo pa kot za Godinnikovo (razd. slika 16).

Vektorska podkomponenta vektorja na vektor b se imenuje vektor h, ki:

1. Pravokotno na vektorje a і b , nato c ^ a і c ^ b;

2. Majska dožina, številčno enaka površini paralelograma, na podlagi vektorjev a ib jak na straneh (razdel. sl. 17), tobto.

3. Vektorji a, b in h izpolnjujejo desno trojico.

Vektor tvir je označen z a x b ali [a, b]. Z vidika ustvarjanja vektorja napredovanje spivv_dnosheniya med orts i, jі k(Div. Mal. 18):

i x j = k , j x k = i , k x i = j .
Prinašamo npr i xj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, vendar | i x j| = | i | |J| sin(90°)=1;

3) vektorji i, j in k naredi trojico prav (Div. Mal. 16).

7.2. Moč ustvarjanja vektorjev

1. Pri prerazporeditvi faktorjev vektor ne spremeni predznaka, tobto. in xb \u003d (b xa) (razdel. slika 19).

Vektorji a хb і b х so kolinearni, imajo lahko enake module (območje paralelograma ostane nespremenljivo), pa tudi ravne črte (trojke a, b, а xb і a, b, bxa nasprotne orientacije) . Postal je plen axb = -(bxa).

2. Vektorski dobutok je mogoče zmanjšati z močjo skalarnega množitelja, tako da je l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Naj je l>0. Vektor l (a xb) je pravokoten na vektorja a in b. Vektor ( l a) x b tudi pravokotno na vektorje a i b(Vektor a, l vendar leži v enem stanovanju). Povprečje, vektor l(a xb) da ( l a) x b kolinearno. Očitno je, da tečejo naravnost. Mayut isto dovzhina:

Tom l(a x b) = l a xb. Podobno se prinese s l<0.

3. Dva neničelna vektorja a i b kolіnearnі tіlki tіlki tіlі, če njihov vektor tvіr dоrіvnyuє nič vektor, potem а ||b<=>in xb = 0.

Zokrema, i * i = j * j = k * k = 0 .

4. Vector tvir lahko rozpodіlnu moč:

(a+b) xs = a xs + b xs

Sprejemljivo brez potrditve.

7.3. Ustvarjanje vektorja Viraz preko koordinat

Mi uporabljamo tabelo ustvarjanja vektorja vektorja i, j in k:

če gre najkrajša pot od prvega do drugega vektorja naravnost s puščicami, gre naravnost do tretjega vektorja, sicer gre stran - tretji vektor se vzame s predznakom minus.

Nalogi dajte dva vektorja a = a x i + a y j+az k i b = b x jaz+do j+bz k. Poznamo vektorsko ustvarjanje tsikh vektorіv, ki množi njihove kot bogate izraze (iz moči ustvarjanja vektorja):

Otrimanovo formulo lahko zapišemo krajše:

delčki desnega dela enakosti (7.1) prikazujejo razvrstitev razsodnika tretjega reda za elementi prve vrstice.Equity (7.2) je enostavno pozabiti.

7.4. Deyakі programi za ustvarjanje vektorjev

Vzpostavitev kolinearnosti vektorjev

Vrednost površine paralelograma in trikutnika

Vіdpovіdno do oznake vektorja ustvarjanje vektorіv ampak i b |a xb | =| a | * | b | sin g, t.j. S pari = | in x b |. І, kasneje, D S = 1/2 | a x b |

Dodelitev momentu sile ali shodo točki

Pridi v točki A, kjer je uporabljena sila F =AB in pusti me Pro- Dejaka kažejo na prostor (razdel. mala 20).

Iz fizike je to jasno moment sile F shodo točke Pro imenujemo vektor M, ki gredo skozi točko Pro ta:

1) pravokotno na ravnino, za prehod skozi točke O, A, B;

2) številčno več moči na rami

3) vzpostavimo desno trojico z vektorjema OA in AB.

Otzhe, M \u003d OA x F.

Pomen ovijanja s širino vrstice

švidkist v točke M trdnega telesa w na osi, ki se ne vrti, je določena z Eulerjevo formulo v \u003d w xr, de r \u003d OM, de O- točka osi ni nestabilna (div. slika 21).

ZMISHANA VIROBKA TROCH VECTORIV IN YOGO POWER

Zmіshanim kreativno trije vektorji imenujejo število, ki je dobro. biti imenovan . Tu se prva dva vektorja pomnožita vektorsko, nato pa se vektor odštevanja skalarno pomnoži s tretjim vektorjem. Očitno je tak televizor papalina.

Poglejmo si moč mešanega ustvarjanja.

1. geometrijski smisel noro ustvarjanje. Zmіshane tvir 3 vektorje z natančnostjo do znaka soglasja paralelepipeda, ki jih ti vektorji povzročajo, kot pri rebrih, tobto. .

   Na tak način, .

   

   dokaz. Vіdklademo vektorji vіd zagalnogo storž in pobuduєmo na njih paralepiped. Pomenljivo in spoštljivo, scho. Za namen ustvarjanja skalarja

   Dopuščam tisto, kar vem h višino paralelepipeda vemo.

   Na tak način pri

   No, potem pa th. Oče,.

   Ob'ednuyuchi žalitve in vipadki, otrimuєmo bodisi.

   Z potrditev kakovosti zokrema je viplivay, da je tretji vektor pravi, nato zmishane tvir in yakshcho - leva, nato.

2. Za vse vektorje , , je enakost pravična

   Dokaz moči avtoritete je razviden iz avtoritete 1. Res je, to je enostavno pokazati. Do takrat se znaka "+" in "-" vzameta hkrati, ker kuti mizh vektorji ta і eno uro gostrі ali neumno.

3. Pri preurejanju, ali obstajata dva spіvmulnіnіv zmіshanі tvіr spremenite znak.

   Res je, kot da lahko gledamo na zmešnjavo televizije, potem pa na primer oz

4. Zmіshany tvіr tіlki tіlki tіlki і, če іz сpіvmіnnіkіv dоrіvnyuє nič abо vektorji аe koplanarni.

   dokaz.

   Vključno s potrebno in zadostno mentalno koplanarnostjo 3 vektorjev in enakostjo na nič njihovega mešanega ustvarjanja. Poleg tega je očitno, da na primer trije vektorji vzpostavljajo osnovo za prostor.

   Poleg vektorjev in nalog v koordinatni obliki je mogoče pokazati, da so te spremembe znane s formulo:

   .

   Tako je zmіshany tvir bolj podoben označevalniku tretjega reda, ki ima koordinate prvega vektorja v prvi vrstici, koordinate drugega vektorja v drugi vrstici in koordinate tretjega vektorja v tretji vrstici.

   uporabite.

ANALITIČNA GEOMETRIJA V VESOLU

Rivnyannia F(x, y, z)= 0 je dodeljena prostoru Oxyz deaku površina, tobto. geometrijska točka mesta, katere koordinate x, y, z zadovolji tistega, ki je ljubosumen. Črta se imenuje enaka površini in x, y, z- trenutne koordinate.

Vendar pogosto površje ne sprašujejo enakovredni, ampak kot neosebna točka prostora, ki ima lahko tisto drugo moč. In tukaj je treba poznati enakovrednost površine, iz njenih geometrijskih potenk.

OBMOČJE.

NORMALNI VEKTOR PODROČJA.

IZRAVLJANJE RAVNINE ZA PREHOD SKOZI DANO TOČKO

Poglejmo si prostor velikega območja σ. Položaj je odvisen od danega vektorja, pravokotnega na dano ravnino, to fiksno točko M0(x0, y 0, z0), ki leži blizu ravnine σ.

Vektor, pravokoten na ravnino σ, se imenuje normalno vektorsko območje qієї. Naj ima vektor koordinate.

Vidimo, da je ravnina σ enaka prehodu skozi točko qi M0 in je lahko normalen vektor. Za kar vzamemo na ravnini σ zadostno točko M(x, y, z) gledam vektor.

Za katero koli točko MО σ vektor Tsya ljubosumje je bistvo MО σ. Je pravičen za vse točke v ravnini in se pokvari, kot samo točka M naslonjena poza z ravnino σ.

Kako vedeti skozi vektor polmera točke M, je vektor polmera točke M0, potem je mogoče na prvi pogled zabeležiti enako vrednost

Tse enako se imenuje vektor enako površini. Zapišemo joga v koordinatni obliki. Oscilki torej

Otzhe, vzeli smo ravnost območja, da bi prešli to točko. Na ta način je za zlaganje ravnosti ravnine potrebno poznati koordinate vektorja normale in koordinate točke dvojke, ki ležijo na ravnini.

S spoštovanjem, da je ravnina enaka 1. stopnji tokovnih koordinat x, yі z.

uporabite.

LETALO ZAGALNE RIVNYANNYA

Ali lahko pokažete, kako enak je prvi korak kartezičnim koordinatam x, y, zє enako deykoї površini. Cena je zabeležena kot:

Ax+By+Cz+D=0

in se imenuje divje ljubosumne ravnine in koordinate A, B, C tukaj so koordinate normalnega vektorja območja.

Poglejmo okolico nezaslišanega ljubosumja. Seveda, ko se ravnina koordinatnega sistema razširi, to pomeni, da se eden ali drugi koeficient poravnave prilagodi na nič.

A - jedro vіdrіzka, ki ga vidi ravnina na osi Ox. Podobno se lahko pokaže, da bі c- Dovzhini vіdrіzkіv, scho vіdsіkayutsya ravno na osi, scho je treba videti. Jojі Oz.

Stanovanja Rivnyannyam na vetrobranih so priročna za požganje za dvig stanovanj.

Pred tem, da bi razumeli ustvarjanje vektorja, zversko za hranjenje orientacije urejene trojice vektorjev a → , b → , c → v trivialnem prostoru.

Dodajmo vektorje a → , b → , c → na isto točko. Usmeritev trojice a → , b → , c → je desna, neposredno v skladu z vektorjem c → . Poleg tega bo najkrajšemu obratu v smeri vektorja a → do b → od konca vektorja c → pripisana oblika tria a → , b → , c → .

Ker je najkrajši obrat proti puščici leta, se trio vektorjev a → , b → , c → imenuje prav, kot za puščico leta - livy.

Vzemimo dva nekolinearna vektorja a → і b → . Točki A dodajmo vektorje AB → = a → і A C → = b →. Ustvarimo vektor A D → = c → , ki je pravokotni enourni і A B → і A C → . Na ta način, ko je sam vektor A D → = c → lahko najdemo podzemno železnico in jo postavimo bodisi naravnost bodisi nasprotno (čudite se ilustraciji).

Trojico vektorjev a → , b → , c → lahko uredimo tako, da postavimo pravo število v pravo smer vektorja.

Iz povedanega lahko uvedemo poimenovanje vektorske kreacije. Oznaka je podana za dva vektorja, ki sta dodeljena pravokotnemu koordinatnemu sistemu trivialnega prostora.

Imenovanje 1

Vektorska tvorba dveh vektorjev a → in b → imenujemo tak vektor nalog za pravokotni koordinatni sistem trivisvetovnega prostora, tako da:

• tako kot vektorja a → in b → kolinearna, bo vіn nič;
• vіn bo pravokoten na vektor a → ta na vektor b → tobto. ∠ a → c → ∠ b → c → = π 2 ;
• yogo dozhina je dodeljena formuli: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b →;
• trojica vektorjev a → , b → , c → ima lahko enako orientacijo, kot je podan koordinatni sistem.

Vektorski dobut vector_v a → ta b → maє prevzame isto vrednost: a → × b → .

Vektorske koordinate

Če preverite, ali ima vektor več koordinat v koordinatnem sistemu, lahko vnesete drugo oznako za ustvarjanje vektorja, na primer, da vam omogoči, da poznate koordinate za danimi koordinatami vektorjev.

Imenovanje 2

V pravokotnem koordinatnem sistemu trivialnega prostora vektorska tvorba dveh vektorjev a → = (a x ; a y ; a z) і b → = (b x ; b y ; b z) poimenuj vektor c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → , kjer je i → j → k → ê koordinatni vektorji.

Vektor tvіr lahko predstavimo kot kvadratno matriko tretjega reda, prva vrstica so vektorji in orti i → , j → , k → , druga vrstica so koordinate vektorja a → , tretja vrstica pa koordinate vektorja vektor b → v danem pravokotnem koordinatnem sistemu, glede na matriko, ki izgleda takole: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Ko smo dešifrirali imena vyznachnika za elemente prve vrstice, vzamemo enakost: j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az po ) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Moč ustvarjanja vektorjev

Očitno je vektor TV v koordinatah predstavljen kot matrika c → = a → × b → = i → prevlado vladarja matrice videti takole moč ustvarjanja vektorja:

1. antikomutativnost a → × b → = - b → × a →;
2. distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ali a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativnost λ · a → × b → = λ · a → × b → ali a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , kjer je λ ustrezno število.

Moči avtoritete ni mogoče zložiti, da bi dokazali.

Na primer, lahko prinesemo moč antikomutativnosti ustvarjanja vektorja.

Dokaz antikomutativnosti

Za dodelitve a → x b → = i → j → k → a x a y z b x b y b z i b → x a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . In če prerazporedite dve vrstici matrik po vrsticah, se lahko vrednost označevalca matrike spremeni glede na dolžino, potem pa a → xb → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, ki prinaša ustvarjanje vektorja antikomutativnosti.

Vector TV - uporabite to rešitev

Najpogosteje se slišijo tri vrste nalog.

Za naloge prvega tipa zglasite naloge obeh vektorjev in med njima, pri čemer je treba poznati dolžino nastanka vektorja. Na tej točki jih bode z žaljivo formulo c → a → b → sin ∠ a → , b → .

zadnjica 1

Poiščite vrednost vektorske razširitve vektorja a → і b → tudi a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

Rešitev

S pomočjo označevanja vektorske povečave vektorja_v a → і b → rešimo naslednji problem: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

predlog: 15 2 2 .

Nalogo drugega tipa lahko povežemo iz koordinat vektorjev, za nekatere vektorje na enak način. šala skozi dane koordinate danih vektorjev a → = (a x ; a y ; a z) і b → = (b x ; b y ; b z) .

Za to vrsto naloge lahko izberete veliko variant naloge. Na primer, lahko nastavite nekoordinatne vektorje a → і b → , kot postavitev glede na koordinatne vektorje oblike b → = b x i → + b y j → + b z k → і c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → vektorje a → ta b → lahko podamo s koordinatami .

Oglejmo si in se prijavimo.

zadnjica 2

Pravokotni koordinatni sistem ima dva vektorja a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Poiščite svoj vektorski TV.

Rešitev

Za druge dodelitve poznamo vektorski komplement dveh vektorjev v danih koordinatah: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Če vektor tvіr zapišete skozi matrični vektor, potem je rešitev te zadnjice videti kot prihajajoči rang: a → xb → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

predlog: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

zadnjica 3

Poiščite vrednost vektorske razširitve vektorja i → - j → ta i → + j → + k → , de i → , j → , k → - ortogonalni kartezijev koordinatni sistem.

Rešitev

Za storž poznamo koordinate dane vektorske tvorbe i → - j → × i → + j → + k → y pravokotnega koordinatnega sistema.

Očitno lahko vektorja i → - j → і i → + j → + k → uskladita (1; - 1; 0) in (1; 1; 1) je pravilna. Poznamo vrednost nastanka vektorja s pomočjo matrike matrike, potem lahko i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Otzhe, vektor TV i → - j → × i → + j → + k → maє koordinate (-1; - 1; 2) za dani koordinatni sistem.

Dolžina nastanka vektorja je znana po formuli (razdelitev dolžine vektorja): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

predlog: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

zadnjica 4

Pravokotni kartezijev koordinatni sistem ima tri koordinate: A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Poiščite vektor, pravokoten na A B → і A C → ena ura.

Rešitev

Vektorji A B → і A C → so lahko naslednji koordinate (- 1 ; 2 ; 2) in (0 ; 4 ; 1) pravilni. Če poznamo vektorsko razširitev vektorjev A B → і A C → , je očitno, da je to pravokoten vektor za cilje і na A B → , і na A C → , tako da lahko rešimo naše težave. Poznamo jogo A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

predlog: - 6 i → + j → - 4 k → . - eden od pravokotnih vektorjev.

Naloga tretje vrste orientacije je izbira avtoritete vektorske tvorbe vektorjev. Po zastosuvannyju katere koli se bomo odločili za dano nalogo.

zadnjica 5

Vektorja a → ta b → pravokotna in їх dozhina enaka vіdpovіdno 3 in 4 . Poiščite vrednost tvorbe vektorja 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Rešitev

Zaradi moči tvorjenja distribucijskega vektorja lahko zapišemo 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Za moč asociativnosti krivimo številčne koeficiente za predznak vektorskih kreacij v preostalem delu spektra: 3 a → × a → +3 a → = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektor ustvari a → × a → і b → × b → nivo 0, skіlki a → × a → = a → a → sin 0 = 0 і b → × b → = b → b → 0, nato 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → ? .

Ker je antikomutativnost nastanka vektorja očitna - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Ko smo pospešili moč ustvarjanja vektorja, vzamemo ekvivalentnost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Za umoma sta vektorja a → in b → pravokotna, nato rez med njima je dražji π 2 . Zdaj ni več potrebe po podajanju znanih pomenov različnih formul: 3 · a → - b → ? → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

predlog: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Vrednost vektorske tvorbe vektorjev za red je več a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Oskіlki vzhe vіdomo (zі shkіlnogo seveda), površina trikutnika več kot polovica dobutku dovzhin dve strani, pomnožena s sinusom reza med obema stranema. Prav tako je dolžina vektorskega dodatka ravnini paralelograma dvojna trikota, podaljšek stranic pa na pogled vektorjev a → і b → poleg istih točk na sinusu kute med njima sin ∠ a → , b → .

Tse i є geometrijski smisel za ustvarjanje vektorjev.

Fizični občutek za ustvarjanje vektorjev

V mehaniki, eni od oddelkov fizike, lahko vektorski tvorbi dodelimo moment sile kot točko prostora.

Imenovanje 3

Pod momentom sile F →, ki deluje na točko B, medtem ko je točka A razumljiva napredujoči vektorski torziji A B → × F →.

Kako ste se spomnili pomilostitve v besedilu, bodite prijazni, poglejte in pritisnite Ctrl + Enter