ТЕМА 1 . Класична формула обчислення ймовірності.

Основні визначення і формули:

Експеримент, результат якого неможливо передбачити, називають випадковим експериментом (СЕ).

Подія, яке в даному СЕ може статися, а може і не відбутися, називають випадковою подією.

елементарними наслідками називають події, що задовольняють вимогам:

1.При всякої реалізації СЕ відбувається один і тільки один елементарний результат;

2.всякое подія є деяка комбінація, деякий набір елементарних фіналів.

Безліч всіх можливих елементарних фіналів повністю описує СЕ. Таке безліч прийнято називати простором елементарних фіналів (ПЕІ). Вибір ПЕІ для опису даного СЕ неоднозначний і залежить від розв'язуваної задачі.

Р (А) \u003d n (A) / n,

де n - загальне число рівно можливих випадків,

n (A) - число випадків, що становлять подію А, як кажуть ще, що сприяють події А.

Слова "навмання", "навмання", "випадковим чином" якраз і гарантують рівно можливих елементарних фіналів.

Рішення типових прикладів

Приклад 1. З урни, що містить 5 червоних, 3 чорних і 2 білих кулі, навмання витягають 3 кулі. Знайти ймовірності подій:

А - "все витягнуті кулі червоні";

В - "все витягнуті кулі - одного кольору";

З - "серед витягнутих рівно 2 чорних".

Рішення:

Елементарним результатом даного СЕ є трійка (невпорядкована!) Куль. Тому, загальне число випадків є число поєднань: n \u003d\u003d 120 (10 \u003d 5 + 3 + 2).

подія А складається тільки з тих трійок, які витягали з п'яти червоних куль, тобто n (A) \u003d\u003d 10.

події В крім 10 червоних трійок сприяють ще й чорні трійки, число яких дорівнює \u003d 1. Тому: n (B) \u003d 10 + 1 \u003d 11.

події З сприяють ті трійки куль, які містять 2 чорних і один не чорний. Кожен спосіб вибору двох чорних куль може комбінуватися з вибором жодного не чорного (з семи). Тому: n (C) \u003d \u003d 3 * 7 \u003d 21.

Отже: Р (А) = 10/120; Р (В) = 11/120; Р (С) = 21/120.

Приклад 2. В умовах попередньої задачі будемо вважати, що кулі кожного кольору мають свою нумерацію, починаючи з 1. Знайти ймовірності подій:

D - "максимальний витягнутий номер дорівнює 4";

Е - "максимальний витягнутий номер дорівнює 3".

Рішення:

Для обчислення n (D) можна вважати, що в урні є одна куля з номером 4, одна куля з великим номером і 8 куль (3к + 3ч + 2б) з меншими номерами. події D сприяють ті трійки куль, які обов'язково містять куля з номером 4 і 2 кулі з меншими номерами. Тому: n (D) \u003d

P (D) \u003d 28/120.

Для обчислення n (Е) вважаємо: в урні дві кулі з номером 3, два з великими номерами і шість куль з меншими номерами (2К + 2год + 2б). подія Е складається з трійок двох типів:

1.одін куля з номером 3 і два з меншими номерами;

2.Два кулі з номером 3 і один з меншим номером.

Тому: n (E) \u003d

Р (Е) \u003d 36/120.

Приклад 3. Кожна з М різних частинок кидається навмання в одну з N комірок. Знайти ймовірності подій:

А - всі частинки потрапили в другий осередок;

В - всі частинки потрапили в одну клітинку;

З - кожна клітинка містить не більше однієї частинки (M £ N);

D - все осередки зайняті (M \u003d N +1);

Е - друга осередок містить рівно до частинок.

Рішення:

Для кожної частинки є N способів потрапити в ту чи іншу осередок. За основним принципом комбінаторики для М частинок маємо N * N * N * ... * N (М-раз). Отже, загальне число випадків у даному СЕ n \u003d N M.

Для кожної частки маємо одну можливість потрапити в другий осередок, тому n (A) \u003d 1 * 1 * ... * 1 \u003d 1 М \u003d 1, і Р (А) \u003d 1 / N M.

Потрапити в одну клітинку (всім частинкам) означає потрапити всім в першу, або всім в другу, або і т.д. всім в N -ю. Але кожен з цих N варіантів може здійснитися одним способом. Тому n (B) \u003d 1 + 1 + ... + 1 (N-раз) \u003d N і Р (В) \u003d N / N M.

Подія С означає, що у кожної частинки число способів розміщення на одиницю менше, ніж у попередньої частки, а перша може потрапити в будь-яку з N комірок. Тому:

n (C) \u003d N * (N -1) * ... * (N + M -1) і Р (С) \u003d

В окремому випадку при M \u003d N: Р (С) \u003d

Подія D означає, що одна з осередків містить дві частинки, а кожна з (N -1) решти осередків містить по одній частці. Щоб знайти n (D) розмірковуємо так: виберемо осередок в якій буде дві частинки, це можна зробити \u003d N способами; потім виберемо дві частинки для цього осередку, для цього існує способів. Після цього залишилися (N -1) частинок розподілимо по одній в що залишилися (N -1) осередків, для цього є (N -1)! способів.

Отже, n (D) \u003d

.

Число n (E) можна підрахувати так: до частинок для другої комірки можна способами, що залишилися (М - К) частинок розподіляються довільним чином по (N -1) осередку (N -1) М-К способами. Тому:

Подобається нам це чи ні, але наша життя повне всіляких випадковостей, як приємних так і не дуже. Тому кожному з нас не завадило б знати, як знайти ймовірність тієї чи іншої події. Це допоможе приймати правильні рішення при будь-яких обставинах, які пов'язані з невизначеністю. Наприклад, такі знання виявляться вельми до речі при виборі варіантів інвестування, оцінки можливості виграшу в акції або лотереї, визначенні реальності досягнення особистих цілей і т. Д., І т. П.

Формула теорії ймовірності

В принципі, вивчення даної теми не займає надто багато часу. Для того щоб отримати відповідь на питання: "Як знайти ймовірність будь-якого явища?", Потрібно розібратися з ключовими поняттями і запам'ятати основні принципи, на яких базується розрахунок. Отже, згідно зі статистикою, досліджувані події позначаються через A1, А2, ..., An. У кожного з них є як сприятливі результати (m), так і загальна кількість елементарних фіналів. Наприклад, нас цікавить, як знайти ймовірність того, що на верхній грані кубика виявиться парне число очок. Тоді А - це кидок m - випадання 2, 4 або 6 очок (три сприяють варіанту), а n - це все шість можливих варіантів.

Сама ж формула розрахунку виглядає наступним чином:

З одним результатом все гранично легко. А ось як знайти ймовірність, якщо події йдуть одне за іншим? Розглянемо такий приклад: з карткової колоди (36 шт.) Показується одна карта, потім вона ховається знову в колоду, і після перемішування витягується наступна. Як знайти ймовірність того, що хоч в одному випадку була витягнута дама пік? Існує таке правило: якщо розглядається складна подія, яке можна розділити на кілька несумісних простих подій, то можна спочатку розрахувати результат для кожного з них, а потім скласти їх між собою. У нашому випадку це буде виглядати так: 1/36 + 1/36 \u003d 1/18. А як же бути тоді, коли кілька відбуваються одночасно? Тоді результати множимо! Наприклад, ймовірність того, що при одночасному підкиданні відразу двох монет випадуть дві решки, буде дорівнює: ½ * ½ \u003d 0.25.

Тепер візьмемо ще більш складний приклад. Припустимо, ми потрапили на книжкову лотерею, в якій з тридцяти квитків десять є виграшними. Потрібно визначити:

1. Імовірність того, що обидва виявляться виграшними.
2. Хоча б один з них принесе приз.
3. Обидва виявляться програшними.

Отже, розглянемо перший випадок. Його можна розбити на дві події: перший квиток буде щасливим, і другий також виявиться щасливим. Врахуємо, що події залежні, оскільки після кожного витягування загальна кількість варіантів зменшується. отримуємо:

10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.

У другому випадку знадобиться визначити ймовірність програшного квитка і врахувати, що він може бути як першим за рахунком, так і другим: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 \u003d 0,4598.

Нарешті, третій випадок, коли по розіграної лотереї навіть однієї книжки отримати не вийде: 20/30 * 19/29 \u003d 0,4368.

Як розрахувати ймовірність події?

Розумію, що всім хочеться заздалегідь знати, як завершиться спортивний захід, хто здобуде перемогу, а хто програє. Володіючи такою інформацією, можна без страху робити ставки на спортивні заходи. Але чи можна взагалі і якщо так, то як розрахувати ймовірність події?

Імовірність - це величина відносна, тому не може з точністю говорити про будь-яку подію. Дана величина дозволяє проаналізувати і оцінити необхідність здійснення ставки на те чи інше змагання. Визначення ймовірностей - це ціла наука, що вимагає ретельного вивчення і розуміння.

Коефіцієнт вірогідності в теорії ймовірності

У ставках на спорт є кілька варіантів результату змагання:

• перемога першої команди;
• перемога другої команди;
• нічия;
• тотал.

У кожного результату змагання є своя ймовірність і частота, з якою дана подія здійсниться за умови збереження початкових характеристик. Як вже говорили раніше, неможливо точно розрахувати ймовірність якої-небудь події - воно може збігтися, а може і не співпасти. Таким чином, ваша ставка може як виграти, так і програти.

Точного 100% передбачення результатів змагання не може бути, тому що на результат матчу впливає безліч факторів. Природно, і букмекери не знають заздалегідь результат матчу і лише припускають результат, приймаючи рішення на своїй системі аналізу і пропонують певні коефіцієнти для ставок.

Як порахувати вірогідність події?

Припустимо, що коефіцієнт букмекера дорівнює 2. 1/2 - отримуємо 50%. Виходить, що коефіцієнт 2 дорівнює ймовірності 50%. За тим же принципом можна отримати беззбитковий коефіцієнт ймовірності - 1 / ймовірність.

Багато гравців думають, що після кількох повторюваних поразок, обов'язково станеться виграш - це помилкова думка. Імовірність виграшу ставки не залежить від кількості поразок. Навіть якщо ви викидаєте кілька орлів підряд в грі з монеткою, ймовірність викидання решки залишиться колишньою - 50%.

Отже, поговоримо на тему, яка цікавить дуже багатьох. У даній статті я вам відповім на питання про те, як розрахувати ймовірність події. Наведу формули для такого розрахунку і кілька прикладів, щоб було зрозуміліше, як це робиться.

Що таке ймовірність

Почнемо з того, що ймовірність того, що та чи інша подія станеться - якась частка впевненості в кінцевому настанні якогось результату. Для цього розрахунку розроблена формула повної ймовірності, що дозволяє визначити, настане цікавить вас подія чи ні, через, так звані, умовні ймовірності. Ця формула виглядає так: Р \u003d n / m, літери можуть змінюватися, але на саму суть це ніяк не впливає.

приклади ймовірності

На простому прикладі розберемо цю формулу і застосуємо її. Припустимо, у вас є якась подія (Р), нехай це буде кидок гральної кістки, тобто рівносторонній кубик. І нам потрібно підрахувати, наскільки ймовірним є випадання на ньому 2 очок. Для цього потрібно число позитивних подій (n), в нашому випадку - випадання 2 очок, на загальне число подій (m). Випадання 2 очок може бути тільки в одному випадку, якщо на кубику буде по 2 очки, так як по іншому, сума буде більше, з цього випливає, що n \u003d 1. Далі підраховуємо число випадання будь-яких інших цифр на кістки, на 1 кістки - це 1, 2, 3, 4, 5 і 6, отже, сприятливих випадків 6, тобто m \u003d 6. Тепер за формулою робимо нехитре обчислення Р \u003d 1/6 і отримуємо, що випадання на кістки 2 очок одно 1/6, тобто ймовірність події дуже мала.

Ще розглянемо приклад на кольорових кульках, які лежать в коробці: 50 білих, 40 чорних і 30 зелених. Потрібно визначити наскільки ймовірним є витягнути кулю зеленого кольору. І так, так як куль цього кольору 30, тобто, позитивних подій може бути тільки 30 (n \u003d 30), число всіх подій 120, m \u003d 120 (за загальною кількістю усіх куль), за формулою розраховуємо, що витягнути зелений куля ймовірність дорівнює буде Р \u003d 30/120 \u003d 0,25, тобто 25% з 100. Таким же чином, можна обчислити і ймовірність витягнути кулю іншого кольору (чорного вона буде 33%, білого 42%).

Чи можна виграти в лотерею? Які шанси вгадати потрібну кількість чисел і отримати джекпот або приз молодшої категорії? Імовірність виграшу легко прораховується, будь-який бажаючий може зробити це самостійно.

Як взагалі вважається ймовірність виграшу в лотерею?

Числові лотереї проводяться за певними формулами і шанси кожної події (виграшу тієї чи іншої категорії) розраховуються математично. Причому ця ймовірність обчислюється для будь-якого потрібного значення, будь то «5 з 36», «6 із 45», або «7 з 49» і вона не змінюється, тому що залежить тільки від загальної кількості чисел (куль, номерів) і того, скільки з них треба вгадати.

Наприклад, для лотереї «5 з 36» ймовірності завжди такі

• вгадати два числа - 1: 8
• вгадати три числа - 1: 81
• вгадати чотири числа - 1: 2 432
• вгадати п'ять чисел - 1: 376 992

Іншими словами - якщо відзначити в квитку одну комбінацію (5 номерів), то шанс вгадати «двійку» всього 1 з 8. А ось «п'ять» номерів зловити набагато складніше, це вже 1 шанс з 376 992. Саме таке (376 тисяч) кількість всіляких комбінацій існує в лотереї «5 з 36» і гарантовано в ній виграти можна, якщо тільки заповнити їх все. Правда, сума виграшу в цьому випадку не виправдає вкладень: якщо квиток коштує 80 рублів, то відзначити все комбінації коштуватиме 30 159 360 рублів. Джекпот зазвичай набагато менше.

Загалом, все ймовірності давно відомі, всього і залишається, що їх знайти або розрахувати самостійно, за допомогою відповідних формул.

Для тих, кому шукати лінь, наведемо ймовірності виграшу для основних числових лотерей Столото - вони представлені в цій таблиці

необхідні пояснення

Лото-віджет дозволяє розраховувати ймовірності виграшу для лотерей з одним лототроном (без бонусних куль) або з двома лототрон. Також можна прорахувати ймовірності розгорнутих ставок

Розрахунок ймовірності для лотерей з одним лототроном (без бонусних куль)

Використовуються тільки перші два поля, в яких числова формула лотереї, наприклад: - «5 з 36», «6 із 45», «7 з 49». В принципі, можна прорахувати майже будь-яку світову лотерею. Є тільки два обмеження: перше значення не повинно перевищувати 30, а друге - 99.

Якщо в лотереї не використовуються додаткові номери *, то після вибору числовий формули залишається натиснути кнопку розрахувати і результат готовий. Не важливо, ймовірність якої події ви хочете дізнатися - виграш джекпоту, приз другої / третьої категорії або просто з'ясувати, чи складно вгадати 2-3 номера з потрібної кількості - результат вираховується майже моментально!

Приклад розрахунку. Імовірність вгадати 5 з 36 складає 1 шанс із 376 992

Приклади. Ймовірності виграшу головного призу для лотерей:
«5 з 36» (Гослото, Росія) - 1: 376 922
«6 із 45» (Гослото, Росія; Saturday Lotto, Австралія; Lotto, Австрія) - 1: 8 145 060
«6 з 49» (Спортлото, Росія; La Primitiva, Іспанія; Lotto 6/49, Канада) - 1:13 983 816
«6 з 52» (Super Loto, Україна; Illinois Lotto, США; Mega TOTO, Малайзія) - 1:20 358 520
«7 з 49» (Гослото, Росія; Lotto Max, Канада) - 1:85 900 584

Лотереї з двома лототрон (+ бонусний куля)

Якщо в лотереї використовується два лототрону, то для розрахунку необхідно заповнити всі 4 поля. У перших двох - числова формула лотереї (5 з 36, 6 з 45 і тд), в третьому і четвертому полі зазначається кількість бонусних куль (x з n). Важливо: даний розрахунок можна використовувати тільки для лотерей з двома лототрон. Якщо бонусний куля дістається з основного лототрону, то ймовірність виграшу саме цієї категорії вважається по-іншому.

* Так як при використанні двох лототронів шанс виграшу вираховується перемножением ймовірностей один на одного, то для коректного розрахунку лотерей з одним лототроном вибір додаткового номера за замовчуванням стоїть як 1 з 1, тобто не враховується.

Приклади. Ймовірності виграшу головного призу для лотерей:
«5 з 36 + 1 з 4» (Гослото, Росія) - 1: 1 507 978
«4 з 20 + 4 з 20» (Гослото, Росія) - 1:23 474 025
«6 з 42 + 1 з 10» (Megalot, Україна) - 1:52 457 860
«5 з 50 + 2 з 10» (EuroJackpot) - 1:95 344 200
«5 з 69 + 1 з 26» (Powerball, США) - 1: 292 201 338

Приклад розрахунок. Шанс вгадати 4 з 20 двічі (в двох полях) становить 1 до 23 474 025

Доброю ілюстрацією складності гри з двома лототрон служить лотерея «Гослото« 4 з 20 ». Імовірність вгадати 4 числа з 20 в одному полі цілком щадна, шанс цього - 1 з 4 845. Але, коли вгадати треба виграти обидва поля ... то ймовірність розраховується їх перемножением. Тобто, в даному випадку 4 845 множимо на 4 845, що дає 23 474 025. Так що, простота цієї лотереї оманлива, виграти в ній головний приз складніше, ніж в «6 із 45» або «6 з 49»

Розрахунок ймовірності (розгорнуті ставки)

В даному випадку вважається ймовірність виграшу при використанні розгорнутих ставок. Для прикладу - якщо в лотереї 6 з 45, відзначити 8 чисел то ймовірність виграти головний приз (6 з 45) складе 1 шанс з 290 895. Чи користуватися розгорнутими ставками - вирішувати вам. З урахуванням того, що вартість їх виходить дуже висока (в даному випадку 8 зазначених чисел це 28 варіантів) варто знати як це збільшує шанси на виграш. Тим більше, що зробити це тепер зовсім просто!

Розрахунок ймовірності виграшу (6 з 45) на прикладі розгорнутої ставки (відзначено 8 чисел)

І інші можливості

За допомогою нашого віджета можна прорахувати ймовірність виграшу і в бінго-лотереї, наприклад, в «Русское лото». Головне, що треба враховувати, це кількість ходів, відведених на наступ виграшу. Щоб було зрозуміліше: довгий час в лотереї «Русское лото» джекпот можна було виграти в тому випадку якщо 15 чисел ( в одному полі) Закривалися за 15 ходів. Імовірність такої події абсолютно фантастична, 1 шанс з 45 795 673 964 460 800 (можете перевірити і отримати це значення самостійно). Саме тому, до речі, багато років в лотереї «Русское лото» ніхто не міг зірвати джекпот, і його розподіляли примусово.

20.03.2016 правила лотереї «Русское лото» було змінено. Джекпот тепер можна виграти, якщо 15 чисел (з 30) закривалися за 15 ходів. Виходить аналог розгорнутої ставки - адже 15 чисел вгадуються з 30 наявних! А це вже зовсім інша ймовірність:

Шанс виграти джекпот (за новими правилами) в лотереї «Русское лото»

І на закінчення наведемо ймовірність виграшу в лотереї, які використовують бонусний куля з основного лототрону (наш віджет такі значення не вважає). З найвідоміших

Спортлото "6 з 49" (Гослото, Росія), La Primitiva «6 з 49» (Іспанія)
Категорія «5 + бонусний куля»: ймовірність 1: 2 330 636

SuperEnalotto «6 з 90» (Італія)
Категорія «5 + бонусний куля»: ймовірність 1 103 769 105

Oz Lotto «7 з 45» (Австралія)
Категорія «6 + бонусний куля»: ймовірність 1: 3 241 401
«5 + 1» - ймовірність 1:29 602
«3 +1» - ймовірність 1:87

Lotto "6 з 59" (Великобританія)
Категорія «5 + 1 бонусний куля»: ймовірність 1: 7 509 579